2010-四川卷文-07 单-三角图象平移伸缩

本题导读

考查图象变换。先右移 $\frac{\pi }{10}$：$y=\sin \left(x-\frac{\pi }{10}\right)$；再横坐标伸长 2 倍（$x$ 换成 $\frac{x}{2}$）：$y=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{10}\right)$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 将函数 $y=\sin x$ 的图象上所有的点向右平行移动 $\frac{\pi }{10}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是()

A. $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{10}\right)$　　B. $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}\right)$　　C. $y=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{10}\right)$　　D. $y=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{20}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平移：向右平移 $\frac{\pi }{10}$，即把 $x$ 换成 $x-\frac{\pi }{10}$。
2. 伸缩：横坐标伸长到原来的 2 倍，即把 $x$ 换成 $\frac{x}{2}$（纵坐标不变）。
3. 按题给顺序依次代入，注意每次变换都只作用于 $x$ 本身。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

向右平移 $\frac{\pi }{10}$ 个单位长度： $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{10}\right).$ 再把横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），即把 $x$ 替换为 $\frac{x}{2}$： $y=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{10}\right).$ 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：图象的平移与伸缩变换

核心方法：右移 $\frac{\pi }{10}$：$x\to x-\frac{\pi }{10}$；横坐标伸长 2 倍：$x\to \frac{x}{2}$，得 $y=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{10}\right)$

避坑指南：“向右平移 $\frac{\pi }{10}$“是对 $x$ 本身减 $\frac{\pi }{10}$；先平移后伸缩时，相位 $\frac{\pi }{10}$ 不改变——若先伸缩后平移，平移量要除以 2，两种顺序结果不同，必须按题给顺序逐步代入。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角图象变换链是四川与全国卷的高频小题，平移与伸缩的先后顺序是命题热点。

结论推广：$y=\sin x\to y=\sin (x-\phi )\to y=\sin \left(\frac{x}{\omega }-\phi \right)$（先移后缩）；先缩后移则平移量为 $\omega \phi$。

方法推广：每一次变换都只作用于 $x$：“右移减、左移加、横坐标伸长 $k$ 倍即 $x$ 换成 $\frac{x}{k}$“；严格按题给顺序代入，不跳步。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-03 单-三角图象平移
• 2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称
• 2009-大纲卷II文-09 单-正切图象平移重合
• 2011-大纲卷文-07 单-三角图象平移重合