2009-山东卷文-03 单-三角图象平移

本题导读

考查图象平移。左移得 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2x$，上移 $1$ 得 $y=2{\cos }^{2}x$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 将函数 $y=\sin 2x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位，所得图象的函数解析式是 ()

A. $y=\cos 2x$　　　　B. $y=2{\cos }^{2}x$　　　　C. $y=1+\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$　　　　D. $y=2\sin 2x$

🔍【思路分析】

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1. 左移 $\frac{\pi }{4}$：$y=\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right]=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2x$。
2. 上移 $1$：$y=\cos 2x+1$。
3. 降幂：$\cos 2x+1=2{\cos }^{2}x$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位，得 $y=\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right]=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2x$。 再向上平移 $1$ 个单位，得 $y=\cos 2x+1$。 由二倍角公式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$，故 $y=2{\cos }^{2}x$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象平移与二倍角

核心方法：左移代 $x+\frac{\pi }{4}$；诱导公式 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2x$；降幂 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$

避坑指南：平移只作用于 $x$ 本身：$\sin 2x$ 左移 $\frac{\pi }{4}$ 得 $\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right]=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“先平移后伸缩”与”先伸缩后平移”的平移量不同，本题只涉及相位平移。

结论推广：上移 $1$ 后用降幂公式对照选项，$2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$。

方法推广：平移方向与符号：向左平移 $\phi$ 个单位即把 $x$ 换成 $x+\phi$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-19 解-三角函数图象平移
• 2009-大纲卷II文-09 单-正切图象平移重合
• 2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称
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