2010-四川卷理-02 单-函数

本题导读

本题考查函数在一点处连续的定义与几何特征判定。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 下列四个图象所表示的函数，在点 $x=0$ 处连续的是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理论依据：函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续 $⟺{\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。
2. 几何意义：在 $x=x_0$ 处图象是连贯不间断的一条曲线/折线，既无渐近断裂、空心点，也无跳跃断层。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

分析各选项图象：

• A项：在 $x=0$ 处为函数的渐近线，无定义，图象断开，故不连续；
• B项：在 $x=0$ 处图象有空心圈，表示该点无定义，不连续；
• C项：在 $x=0$ 处图象空心且孤立点落在下方，极限值不等于函数值，不连续；
• D项：图象在 $x=0$ 处连贯无间断，左右极限均等于 $f(0)$，函数在该点连续。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数在一点处连续的条件（有定义、极限存在且极限值等于函数值）。
2. 核心方法：观察图象在 $x=0$ 处是否“一笔画”不间断。
3. 避坑指南：注意区分空心点与实心点，空心圈代表该点取不到或不连续。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：函数极限与连续性基础识图题。
2. 结论推广：初等函数在其定义域区间内均连续。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性