2010-四川卷理-03 单-对数

本题导读

本题考查对数的性质及其加法与倍数运算法则。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） $2{\log }_{5}10+{\log }_{5}0.25=$()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用对数系数化幂法则：$k{\log }_{a}M={\log }_a{M}^k$，将 $2{\log }_{5}10$ 化为 ${\log }_{5}10^2={\log }_{5}100$。
2. 利用同底对数加法公式：${\log }_{a}M+{\log }_{a}N={\log }_a(MN)$ 合并求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

根据对数的运算法则： $2{\log }_{5}10={\log }_5(10^2)={\log }_{5}100$

代入原式： $2{\log }_{5}10+{\log }_{5}0.25={\log }_{5}100+{\log }_{5}0.25$ $={\log }_5(100\times 0.25)={\log }_{5}25$

因为 $25=5^2$，所以： ${\log }_{5}25=2$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数的积、商、幂运算性质。
2. 核心方法：系数移至真数指数位置 $\to$ 利用加法公式合成一个对数。
3. 避坑指南：计算 $100\times 0.25=25$ 时须细心，切勿将 ${\log }_{5}25$ 误算为 $5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础对数求值题。
2. 结论推广：${\log }_a(a^k)=k$，同底对数加减运算可直接合并真数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-北京卷文-03 单-对数不等式比较
• 2011-四川卷理-13 填-对数