2010-四川卷理-06 单-三角函数

本题导读

本题考查正弦函数图象平移与伸缩变换对解析式的影响，注意平移与伸缩是对自变量 $x$ 本身施加变换。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 将函数 $y=\sin x$ 的图象上所有的点向右平行移动 $\frac{\pi }{10}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是()

A. $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{10}\right)$　　　　　　　　　　　　　　B. $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}\right)$

C. $y=\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{10}\right)$　　　　　　　　　　　　　D. $y=\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{20}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（向右平移 $\frac{\pi }{10}$）：根据“左加右减”，用 $x-\frac{\pi }{10}$ 替换 $x$，得到 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{10}\right)$。
2. 第二步（横坐标伸长到原来的 $2$ 倍）：用 $\frac{1}{2}x$ 替换自变量 $x$（伸长 $A$ 倍则用 $\frac{1}{A}x$ 替换 $x$），得到 $y=\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{10}\right)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：向右平移变换 将 $y=\sin x$ 的图象向右平行移动 $\frac{\pi }{10}$ 个单位长度，自变量 $x\to x-\frac{\pi }{10}$，得到： $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{10}\right)$

第二步：横坐标伸缩变换 再将所得各点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），自变量 $x\to \frac{1}{2}x$，得到： $y=\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{10}\right)$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数 $y=\sin x\to y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象变换规则。
2. 核心方法：严格对自变量 $x$ 进行直接代换（“左加右减”代换 $x\pm d$，“伸缩”代换 $\omega x$）。
3. 避坑指南：

• 横坐标伸长到 $2$ 倍，自变量 $x$ 应乘以系数 $\frac{1}{2}$（而非 $2$）；
• 平移后伸缩只改变 $x$ 前的系数，不改变括号内的常数项 $-\frac{\pi }{10}$（切勿错将常数项也乘以 $\frac{1}{2}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三角函数图象变换基本功考查题。
2. 结论推广：对 $y=f(x)$，向右平移 $h$ 个单位得 $y=f(x-h)$；横坐标变为原来的 $k$ 倍得 $y=f\left(\frac{x}{k}\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数