2010-四川卷理-12 单-均值不等式

本题导读

本题考查三元代数式的最值求解，通过代数式拆项、配方及两次应用基本不等式消元化简。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 设 $a>b>c>0$，则 $2a^2+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2$ 的最小值是()

A. $2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $2\sqrt{5}$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知代数式的结构： $\text{原式}=(2a^2-10ac+25c^2)+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}$
2. 分组化简配方：

• 含 $c$ 的项配方：$25c^2-10ac=(5c-a{)}^2-a^2$；
• 剩余与 $a,b$ 相关的项组合： $2a^2-a^2+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}=a^2+\frac{1}{a}\left[\frac{1}{b}+\frac{1}{a-b}\right]$

3. 利用基本不等式化简：

• 对 $\frac{1}{b}+\frac{1}{a-b}$ 变形：$\frac{1}{b}+\frac{1}{a-b}=\frac{(a-b)+b}{b(a-b)}=\frac{a}{b(a-b)}$；
• 代入得：$\frac{1}{a}\cdot \frac{a}{b(a-b)}=\frac{1}{b(a-b)}$；
• 由基本不等式 $b(a-b)\le {\left[\frac{b+(a-b)}{2}\right]}^2=\frac{a^2}{4}⟹\frac{1}{b(a-b)}\ge \frac{4}{a^2}$；
• 进而合并为 $a^2+\frac{4}{a^2}\ge 2\sqrt{a^2\cdot \frac{4}{a^2}}=4$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分组配方 将原式重组为含 $c$ 部分与含 $a,b$ 部分： $\text{原式}=(25c^2-10ac+a^2)+a^2+\left[\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}\right]$ $=(5c-a{)}^2+a^2+\frac{1}{a}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a-b}\right)$

因为 $c$ 为任意符合 $a>b>c>0$ 的实数，当且仅当 $5c=a⟹c=\frac{a}{5}$ 时，$(5c-a{)}^2=0$ 取得最小值。

此时代数式化简为： $\text{原式}\ge a^2+\frac{1}{a}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a-b}\right)$

第二步：对含 $b$ 部分应用基本不等式 处理括号内部 $\frac{1}{b}+\frac{1}{a-b}$（因为 $a>b>0⟹b>0,a-b>0$）： $\frac{1}{b}+\frac{1}{a-b}=\frac{(a-b)+b}{b(a-b)}=\frac{a}{b(a-b)}$

根据基本不等式，对正数 $b$ 和 $a-b$： $b(a-b)\le {\left[\frac{b+(a-b)}{2}\right]}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4}$

当且仅当 $b=a-b⟹b=\frac{a}{2}$ 时取等号。

因此： $\frac{a}{b(a-b)}\ge \frac{a}{\frac{a^2}{4}}=\frac{4}{a}$

代回代数式： $\frac{1}{a}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a-b}\right)\ge \frac{1}{a}\cdot \frac{4}{a}=\frac{4}{a^2}$

第三步：对含 $a$ 部分应用基本不等式 原式化简为： $\text{原式}\ge a^2+\frac{4}{a^2}$

由基本不等式 $x+\frac{y}{x}\ge 2\sqrt{y}$： $a^2+\frac{4}{a^2}\ge 2\sqrt{a^2\cdot \frac{4}{a^2}}=2\sqrt{4}=4$

当且仅当 $a^2=\frac{4}{a^2}⟹a^2=2⟹a=\sqrt{2}$ 时取等号。

取等条件验证： 同时满足 $a=\sqrt{2}$，$b=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$c=\frac{\sqrt{2}}{5}$，满足条件 $\sqrt{2}>\frac{\sqrt{2}}{2}>\frac{\sqrt{2}}{5}>0$（即 $a>b>c>0$）。

故原式的最小值为 $4$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多元代数式最值、拆项配方与多次基本不等式链式应用。
2. 核心方法：

• 第一步：对 $c$ 完成完全平方 $(5c-a{)}^2\ge 0$ 消去 $c$；
• 第二步：通分后利用 $b(a-b)\le \frac{a^2}{4}$ 消去 $b$；
• 第三步：利用 $a^2+\frac{4}{a^2}\ge 4$ 最终求解。

3. 避坑指南：多次应用基本不等式必须检验等号能否同时成立（$a=\sqrt{2},b=\frac{\sqrt{2}}{2},c=\frac{\sqrt{2}}{5}$），确保最值有效。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：均值不等式在多元分式最值中的压轴考查题。
2. 结论推广：对结构 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$（柯西不等式/均值不等式推论），可快速将 $\frac{1}{b}+\frac{1}{a-b}$ 化简为 $\frac{4}{a}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式