2010-四川卷理-17 解-二项分布

本题导读

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量服从二项分布时分布列与数学期望的求解。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 17. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 $\frac{1}{6}$. 甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

(1) 求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

(2) 求中奖人数 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：甲、乙、丙三位同学是否中奖相互独立。甲中奖概率为 $\frac{1}{6}$，乙未中奖概率为 $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$，丙未中奖概率为 $\frac{5}{6}$。根据独立事件概率乘法公式计算。
2. 第 (2) 问：随机变量 $\xi$（中奖人数）服从二项分布 $\xi \sim B\left(3,\frac{1}{6}\right)$。分别计算 $\xi =0,1,2,3$ 时的概率，列出分布列，并利用期望公式 $E\xi =np$ 或公式计算期望。

✅【答案】

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第（1）问概率为25216.𝜉0

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，每位同学购买饮料中奖的概率为 $p=\frac{1}{6}$，未中奖的概率为 $q=1-p=\frac{5}{6}$，且三位同学是否中奖相互独立.

(1) 求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率

设“甲中奖且乙、丙都没有中奖”为事件 $A$. 由独立事件的概率乘法公式： $PA.=\frac{1}{6}\times \left(1-\frac{1}{6}\right)\times \left(1-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{25}{216}$

答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 $\frac{25}{216}$.

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(2) 求中奖人数 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E\xi$

由题意，中奖人数 $\xi$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$，且 $\xi$ 服从二项分布 $\xi \sim B\left(3,\frac{1}{6}\right)$.

分别计算对应的概率：

• $P(\xi =0)={\mathrm{C}}_3^0{\left(\frac{1}{6}\right)}^0{\left(\frac{5}{6}\right)}^3=1\times 1\times \frac{125}{216}=\frac{125}{216}$；
• $P(\xi =1)={\mathrm{C}}_3^1{\left(\frac{1}{6}\right)}^1{\left(\frac{5}{6}\right)}^2=3\times \frac{1}{6}\times \frac{25}{36}=\frac{75}{216}$；
• $P(\xi =2)={\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^1=3\times \frac{1}{36}\times \frac{5}{6}=\frac{15}{216}$；
• $P(\xi =3)={\mathrm{C}}_3^3{\left(\frac{1}{6}\right)}^3{\left(\frac{5}{6}\right)}^0=1\times \frac{1}{216}\times 1=\frac{1}{216}$.

所以中奖人数 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{125}{216}$	$\frac{75}{216}$	$\frac{15}{216}$	$\frac{1}{216}$

计算数学期望 $E\xi$：

方法一（期望定义式）： $E\xi =0\times \frac{125}{216}+1\times \frac{75}{216}+2\times \frac{15}{216}+3\times \frac{1}{216}=\frac{0+75+30+3}{216}=\frac{108}{216}=\frac{1}{2}$

方法二（二项分布期望公式）： 因为 $\xi \sim B\left(3,\frac{1}{6}\right)$，所以： $E\xi =np=3\times \frac{1}{6}=\frac{1}{2}$

答：中奖人数 $\xi$ 的数学期望 $E\xi =\frac{1}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件概率乘法、二项分布 $B(n,p)$ 的分布列与期望计算。
2. 核心方法：利用二项分布公式 $P(\xi =k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 求概率。
3. 避坑指南：写出分布列后注意核对所有概率之和是否为 $1$（$\frac{125+75+15+1}{216}=\frac{216}{216}=1$），确保计算无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：生活实际背景包装的二项分布典型解答题。
2. 结论推广：若随机变量 $X\sim B(n,p)$，则 $EX=np,DX=np(1-p)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率