2010-四川卷理-19 解-解三角形

本题导读

本题考查三角函数和角公式的基础推导（单位圆/向量证明与诱导公式转换），以及利用三角形面积与向量数量积求解内角的余弦值。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 19. (1) ① 证明两角和的余弦公式 $C_{(\alpha +\beta )}:\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$； ② 由 $C_{(\alpha +\beta )}$ 推导两角和的正弦公式 $S_{(\alpha +\beta )}:\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$.

(2) 已知 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3$，且 $\cos B=\frac{3}{5}$，求 $\cos C$.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问 ①：在平面直角坐标系中构建单位圆，利用圆上两点的向量坐标，通过向量数量积公式与几何距离/夹角计算推导出 $\cos (\alpha +\beta )$。
2. 第 (1) 问 ②：利用诱导公式 $\sin \theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$ 将正弦转化为余弦，再套用已证的 $C_{(\alpha +\beta )}$ 及 $C_{(\alpha -\beta )}$ 展开推导。
3. 第 (2) 问：

• 由 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}⟹bc\sin A=1$；
• 由 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=cb\cos A=3$；
• 两式相除得 $\tan A=\frac{1}{3}$，进而求出 $\sin A,\cos A$；
• 已知 $\cos B=\frac{3}{5}$，可求出 $\sin B=\frac{4}{5}$；
• 利用 $C=\pi -(A+B)⟹\cos C=-\cos (A+B)$，展开计算 $\cos C$。

✅【答案】

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两角和的余弦公式𝐶𝛼+𝛽与正弦公式𝑆𝛼+𝛽均成立.（2）短答案：cos𝐶=−√1010.

✍【详细解析】

Abstract

(1) ① 证明两角和的余弦公式 $C_{(\alpha +\beta )}$

在平面直角坐标系中，作单位圆 $O$。 以 $x$ 轴非负半轴为始边，分别作角 $\alpha ,-\beta$。 设它们的终边与单位圆相交于点 $P_1,P_2$，则其坐标为： $P_1(\cos \alpha ,\sin \alpha ),P_2(\cos (-\beta ),\sin (-\beta ))=P_2(\cos \beta ,-\sin \beta )$

定义向量 $\overrightarrow{O{P}_1}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，$\overrightarrow{O{P}_2}=(\cos \beta ,-\sin \beta )$。

一方面，由向量数量积的坐标表示： $\overrightarrow{O{P}_1}\cdot \overrightarrow{O{P}_2}=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha (-\sin \beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \text{(1)}$

另一方面，向量 $\overrightarrow{O{P}_1}$ 与 $\overrightarrow{O{P}_2}$ 的夹角为 $\alpha -(-\beta )=\alpha +\beta$。 由向量数量积的几何定义（因为 $|\overrightarrow{O{P}_1}|=|\overrightarrow{O{P}_2}|=1$）： $\overrightarrow{O{P}_1}\cdot \overrightarrow{O{P}_2}=|\overrightarrow{O{P}_1}|\cdot |\overrightarrow{O{P}_2}|\cdot \cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha +\beta )\text{(2)}$

对比 ① 和 ② 可得： $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

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① 补充证明（亦可用 $C_{(\alpha -\beta )}$ 变形代换）： 由两角差的余弦公式 $\cos (\alpha -\theta )=\cos \alpha \cos \theta +\sin \alpha \sin \theta$，令 $\theta =-\beta$： $\cos [\alpha -(-\beta )]=\cos \alpha \cos (-\beta )+\sin \alpha \sin (-\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 即得 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$.

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(1) ② 由 $C_{(\alpha +\beta )}$ 推导两角和的正弦公式 $S_{(\alpha +\beta )}$

利用诱导公式 $\sin \theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$： $\sin (\alpha +\beta )=\cos \left[\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)-\beta \right]=\cos \left[\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+(-\beta )\right]$

利用两角和的余弦公式 $C_{(\alpha +\beta )}$： $\sin (\alpha +\beta )=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\cos (-\beta )-\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\sin (-\beta )$

根据诱导公式与奇偶性：

• $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$
• $\cos (-\beta )=\cos \beta$
• $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$
• $\sin (-\beta )=-\sin \beta$

代入得： $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha (-\sin \beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

命题得证.

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(2) 求 $\cos C$ 的值

设 $△ABC$ 中角 $A,B,C$ 对应的边长分别为 $a,b,c$.

由三角形面积公式： $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}⟹bc\sin A=1\text{(3)}$

由向量数量积定义： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos A=cb\cos A=3\text{(4)}$

③式除以④式： $\frac{bc\sin A}{bc\cos A}=\frac{1}{3}⟹\tan A=\frac{1}{3}$

因为在 $△ABC$ 中 $\sin A>0$，由 $\tan A=\frac{1}{3}>0$ 可知 $A$ 为锐角： $\sin A=\frac{1}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ $\cos A=\frac{3}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

已知 $\cos B=\frac{3}{5}>0$，所以 $B$ 为锐角： $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$

在 $△ABC$ 中，因为 $C=\pi -(A+B)$： $\cos C=\cos [\pi -(A+B)]=-\cos (A+B)$

由两角和的余弦公式展开： $\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ $\cos (A+B)=\frac{3\sqrt{10}}{10}\times \frac{3}{5}-\frac{\sqrt{10}}{10}\times \frac{4}{5}=\frac{9\sqrt{10}-4\sqrt{10}}{50}=\frac{5\sqrt{10}}{50}=\frac{\sqrt{10}}{10}$

因此： $\cos C=-\cos (A+B)=-\frac{\sqrt{10}}{10}$

答：$\cos C$ 的值为 $-\frac{\sqrt{10}}{10}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和正余弦公式的推导、面积与向量数量积求切值 $\tan A=\frac{S\cdot 2}{\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}}$、两角和余弦展开与互补角余弦公式。
2. 核心方法：

• 公式推导：单位圆向量法证明余弦公式 $\to$ 诱导公式推导正弦公式；
• 三角计算：$\frac{\text{面积}}{\text{数量积}}=\frac{\frac{1}{2}bc\sin A}{bc\cos A}=\frac{1}{2}\tan A$。

3. 避坑指南：第 (2) 问中注意 $\cos C=-\cos (A+B)$ 前面的负号，切勿漏写负号导致算成正值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材基础推导与解三角形经典交汇题。
2. 结论推广：在任意 $△ABC$ 中，恒有 $\tan A=\frac{2S}{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数