2010-大纲卷I理-05 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的变形应用。题目给出两个多项式乘积的形式，核心在于通过分析两个独立二项式展开式的通项公式，寻找所有乘积后能够贡献一阶非零整幂次 $x^{1}$ 的组合。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） $(1 + 2 x)^{3} (1 - 3 x)^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数是()

A. $- 4$ 　　　　　　　B. $- 2$ 　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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分别写出两个括号的二项式展开通项公式，将根式化为分数指数幂： $(1 + 2 x^{\frac{1}{2}})^{3}$ 的通项为 $T_{r + 1} = (r 3) 2^{r} x^{\frac{r}{2}}$ （ $r \in {0, 1, 2, 3}$ ）； $(1 - x^{\frac{1}{3}})^{5}$ 的通项为 $T_{k + 1} = (k 5) (- 1)^{k} x^{\frac{k}{3}}$ （ $k \in {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ ）。

两项相乘的自变量指数为 $\frac{r}{2} + \frac{k}{3}$ 。令该指数等于 1，求出符合取值范围的整数对 $(r, k)$ 。

计算对应组合的系数并求和。

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一个因式展开的各项分别为：

$r = 0 ⟹ (0 3) \cdot 1 = 1$ （ $x^{0}$ 项）

$r = 1 ⟹ (1 3) \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} = 6 x^{\frac{1}{2}}$

$r = 2 ⟹ (2 3) \cdot 4 x = 12 x$ （ $x^{1}$ 项）

$r = 3 ⟹ (3 3) \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} = 8 x^{\frac{3}{2}}$

第二个因式展开的各通项自变量为 $x^{\frac{k}{3}}$ ，其可能生成的项包括：

$k = 0 ⟹ (0 5) \cdot 1 = 1$ （ $x^{0}$ 项）

$k = 3 ⟹ (3 5) \cdot (- 1)^{3} x = - 10 x$ （ $x^{1}$ 项）

要得到乘积后的 $x^{1}$ 项，只有两种相乘组合路径：

第一个因式的 $x^{0}$ 项与第二个因式的 $x^{1}$ 项相乘： $1 \times (- 10 x) = - 10 x$ ；

第一个因式的 $x^{1}$ 项与第二个因式的 $x^{0}$ 项相乘： $12 x \times 1 = 12 x$ 。其余交叉乘积组合（如 $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{k}{3}}$ ）其指数 $\frac{1}{2} + \frac{k}{3} = 1 ⟹ \frac{k}{3} = \frac{1}{2} ⟹ k = 1.5$ ，由于 $k$ 必须为整数，故不产生 $x^{1}$ 项。

综上所述，展开式中 $x$ 的系数为： $- 10 + 12 = 2$ 。答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开通项公式，多项式乘积项的分拆计数。

核心方法：分数指数幂方程整解搜索法。

避坑指南：不要盲目使用全通项公式列出复杂的非线性不定方程 $\frac{r}{2} + \frac{k}{3} = 1$ 。由于第一个因式只有 4 项，直接穷举出每一项的指数再到第二个因式里匹配是最快且不易错的方法。注意负号 $(- 1)^{k}$ 的提取。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题由单二项式展开求系数升级为双二项式积求特定项系数，主要检验学生对二项式定理的灵活拆分和代数统筹本领。

结论推广：求 $(1 + a x^{p})^{m} (1 + b x^{q})^{n}$ 展开式中 $x^{s}$ 的系数，即为求解所有满足 $i p + j q = s$ （ $0 \leq i \leq m, 0 \leq j \leq n$ ）的整数组合对应的二项式系数及系数幂乘积之和。

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