2010-大纲卷I理-12 单-球

本题导读

本题考查球体内接四面体体积的最大值问题。核心考查如何利用球的对称性将四面体的体积转化为两个定长对棱的距离与夹角函数，并通过几何最值完成放缩。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 已知在半径为 2 的球面上有一点 $A、B、C、D$ 四点，若 $AB=CD=2$，则四面体 $ABCD$ 的体积的最大值为()

A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　　B. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$　　　　　　C. $2\sqrt{3}$　　　　　　D. $\frac{8\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 四面体体积可用任意一组对棱表示：$V=\frac{1}{6}\cdot AB\cdot CD\cdot d\cdot \sin \theta$，其中 $d$ 为 $AB$ 与 $CD$ 的距离，$\theta$ 为两异面直线所成的角。

2. 要使体积最大，需满足 $\sin \theta =1$（即 $AB\perp CD$）且距离 $d$ 达到最大值。

3. 利用垂径定理计算出两弦到球心的距离，当球心落在两异面直线公垂线段上时，距离 $d$ 最大。

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB$ 与 $CD$ 的公垂线段长（即两异面直线间的距离）为 $d$，它们所成的角为 $\theta$。 由任意四面体的体积通用公式得： $V_{ABCD}=\frac{1}{6}\cdot AB\cdot CD\cdot d\cdot \sin \theta$。 当 $AB\perp CD$ 时，$\sin \theta =1$ 取得最大值。 已知球半径 $R=2$，$AB=2$，则 $AB$ 的中点到球心 $O$ 的距离为 $d_1=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。 同理，因 $CD=2$，$CD$ 的中点到球心 $O$ 的距离为 $d_2=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。 要使 $AB$ 与 $CD$ 的距离 $d$ 最大，球心 $O$ 必须恰好落在 $AB$ 与 $CD$ 的公垂线段上， 此时最大距离 $d_{\max }=d_1+d_2=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。 将其代入体积公式中，得： $V_{\max }=\frac{1}{6}\times 2\times 2\times 2\sqrt{3}\times 1=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。 答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球体内接多面体、异面直线距离、四面体体积的对棱展开式。

2. 核心方法：控制变量法（分别使夹角正弦与公垂线段长达到极大）。

3. 避坑指南：常规做法若采用传统建系或底面积乘以高，由于图形具有动态性，极易列出极其复杂的三角函数导致无法化简，熟记四面体体积的对棱公式是快速破题的捷径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自三维空间欧几里得几何中关于“有界闭域内多面体体积极值”的经典探究问题。

2. 结论推广：若外接球半径为 $R$，内接四面体的一对对棱长分别为 $a$ 和 $b$，则该四面体体积的最大值为 $V_{\max }=\frac{1}{6}ab\left(\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}+\sqrt{R^2-\frac{b^2}{4}}\right)$。

🔗【关联脉络】

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B

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积
• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积
• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式