2010-大纲卷I理-16 填-椭圆

本题导读

本题考查椭圆离心率的求解。题目给出短轴端点与焦点的共线向量比例关系，核心在于通过向量共线将圆锥曲线上的动点坐标用基本量 $b,c$ 整体表达，再通过回代椭圆方程构建关于 $a,c$ 的齐次式完成求解。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 已知 $F$ 是椭圆 $C$ 的一个焦点，$B$ 是短轴的一个端点，线段 $BF$ 的延长线交 $C$ 于点 $D$，且 $\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD}$，则 $C$ 的离心率为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 不妨设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），设焦点为 $F(c,0)$，短轴端点为 $B(0,b)$。

2. 写出向量 $\overrightarrow{BF}=(c,-b)$。根据 $\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD}$，可求出 $\overrightarrow{FD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BF}=\left(\frac{c}{2},-\frac{b}{2}\right)$。

3. 由 $D=F+\overrightarrow{FD}$，写出点 $D$ 的坐标。

4. 将点 $D$ 坐标代入椭圆方程，利用 $b^2=a^2-c^2$ 化为关于 $a,c$ 的齐次方程，求解离心率 $e=\frac{c}{a}$。

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）， 设右焦点为 $F(c,0)$，上短轴端点为 $B(0,b)$。 则向量 $\overrightarrow{BF}=(c-0,0-b)=(c,-b)$。 因为 $\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD}$，所以 $\overrightarrow{FD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BF}=\left(\frac{c}{2},-\frac{b}{2}\right)$。 设点 $D$ 的坐标为 $(x_D,y_D)$，则： $(x_D-c,y_D-0)=\left(\frac{c}{2},-\frac{b}{2}\right)⟹x_D=\frac{3c}{2},y_D=-\frac{b}{2}$。 因为点 $D\left(\frac{3c}{2},-\frac{b}{2}\right)$ 在椭圆 $C$ 上，将其坐标代入椭圆方程得： $\frac{{\left(\frac{3c}{2}\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2}{b^2}=1⟹\frac{9c^2}{4a^2}+\frac{b^2/4}{b^2}=1$。 化简分式项： $\frac{9c^2}{4a^2}+\frac{1}{4}=1⟹\frac{9c^2}{4a^2}=\frac{3}{4}⟹9c^2=3a^2⟹3c^2=a^2$。 则离心率平方为： $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}$。 因为 $e\in (0,1)$，所以 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 （若设左焦点 $F(-c,0)$ 或下端点 $B(0,-b)$，由图形对称性，所得代数齐次比例完全一致）。 答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标线性运算法则，椭圆上点的代数方程归宿。

2. 核心方法：建系设点法、构建几何基本量齐次方程法。

3. 避坑指南：用向量定比分点性质求 $D$ 点坐标时，务必分清始点与终点，谨防将 $x_D-c$ 错写为 $c-x_D$ 导致横纵坐标符号错乱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是一道将平面向量作为工具引入圆锥曲线基本量计算的经典压轴填空题，考查了离心率求解中“特殊位置赋予代数关系”的核心逻辑。

2. 结论推广：在椭圆中，若短轴端点与焦点的连线延长线交椭圆于 $D$，且满足 $\overrightarrow{BF}=\lambda \overrightarrow{FD}$，代入方程化简通式可得：$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{\lambda }{\lambda +2}}$。本题中 $\lambda =2$，代入得 $e=\sqrt{\frac{2}{2+2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（此处注意：若由几何条件看，本题由于是延伸交点，其比例关系为 $\lambda =1$，代入可得 $\sqrt{\frac{1}{1+2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量
• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比