2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于待定系数法、韦达定理的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F$，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

(1)求椭圆的方程；

(2)设 $A$，$B$ 分别为椭圆的左、右顶点，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $C$，$D$ 两点. 若 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CB}=8$，求 $k$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(1)$ $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$ → $c^2=\frac{a^2}{3}$，$b^2=\frac{2a^2}{3}$；通径 $\frac{2b^2}{a}=\frac{4a}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ → $a=\sqrt{3}$，$b^2=2$ → $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$。
2. $(2)$ $F(-1,0)$，设直线 $y=k(x+1)$，$C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$；联立得 $(2+3k^2)x^2+6k^{2}x+3k^2-6=0$，$x_1+x_2=\frac{-6k^2}{2+3k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{3k^2-6}{2+3k^2}$。
3. 展开得 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CB}=6-2(x_1{x}_2+y_1{y}_2)=8$ → $x_1{x}_2+y_1{y}_2=-1$。
4. $y_1{y}_2=k^2(x_1+1)(x_2+1)=\frac{-4k^2}{2+3k^2}$ → $\frac{-k^2-6}{2+3k^2}=-1$ → $k^2=2$ → $k=\pm \sqrt{2}$。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；(2)$\pm \sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹c^2=\frac{a^2}{3},b^2=a^2-c^2=a^2-\frac{a^2}{3}=\frac{2a^2}{3}.$ 过左焦点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的弦（通径）长 $\frac{2b^2}{a}=\frac{2}{a}\cdot \frac{2a^2}{3}=\frac{4a}{3}.$ 由题意 $\frac{4a}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，故 $a=\sqrt{3}$，$b^2=\frac{2\times 3}{3}=2$。所求椭圆方程为 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1.$ （2） 由（1）知 $c=1$，左焦点 $F(-1,0)$，左顶点 $A(-\sqrt{3},0)$，右顶点 $B(\sqrt{3},0)$。 设过 $F$ 的直线为 $y=k(x+1)$，与椭圆交于 $C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$。与椭圆方程联立并去分母（两边乘 $6$）： $2x^2+3k^2(x+1{)}^2=6,$ 整理得 $(2+3k^2)x^2+6k^{2}x+3k^2-6=0.$ 由韦达定理 $x_1+x_2=\frac{-6k^2}{2+3k^2},x_1{x}_2=\frac{3k^2-6}{2+3k^2}.$ 又 $y_1=k(x_1+1)$，$y_2=k(x_2+1)$，故 $y_1{y}_2=k^2(x_1+1)(x_2+1)=k^2\left(x_1{x}_2+x_1+x_2+1\right)$ $=k^2\left(\frac{3k^2-6-6k^2+2+3k^2}{2+3k^2}\right)=k^2\cdot \frac{-4}{2+3k^2}=\frac{-4k^2}{2+3k^2}.$ 再展开题设中的数量积（注意 $\overrightarrow{DB}=B-D$，$\overrightarrow{CB}=B-C$）： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}=(x_1+\sqrt{3},y_1)\cdot (\sqrt{3}-x_2,-y_2)=(x_1+\sqrt{3})(\sqrt{3}-x_2)-y_1{y}_2,$ $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CB}=(x_2+\sqrt{3},y_2)\cdot (\sqrt{3}-x_1,-y_1)=(x_2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-x_1)-y_1{y}_2.$ 两式相加，展开式中 $\sqrt{3}{x}_1$ 与 $-\sqrt{3}{x}_1$、$\sqrt{3}{x}_2$ 与 $-\sqrt{3}{x}_2$ 两两抵消： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CB}=6-2x_1{x}_2-2y_1{y}_2.$ 由题设它等于 $8$，即 $6-2(x_1{x}_2+y_1{y}_2)=8⟹x_1{x}_2+y_1{y}_2=-1.$ 代入韦达定理的结果： $\frac{3k^2-6}{2+3k^2}+\frac{-4k^2}{2+3k^2}=\frac{-k^2-6}{2+3k^2}=-1.$ 去分母：$-k^2-6=-(2+3k^2)$，即 $-k^2-6=-2-3k^2$，得 $2k^2=4$，$k^2=2$。 所以 $k=\sqrt{2}$ 或 $k=-\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的方程与向量数量积的定值条件

核心方法：$(1)$ $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ → $c^2=\frac{a^2}{3}$，$b^2=a^2-c^2=\frac{2a^2}{3}$；过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆截得的弦（通径）长为 $\frac{2b^2}{a}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ → $\frac{4a}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ → $a=\sqrt{3}$，$b^2=2$ → $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$。$(2)$ 设 $C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$，直线 $y=k(x+1)$（$F(-1,0)$），与椭圆联立得 $(2+3k^2)x^2+6k^{2}x+3k^2-6=0$；$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CB}=6-2(x_1{x}_2+y_1{y}_2)=8$ → $x_1{x}_2+y_1{y}_2=-1$；展开得 $\frac{-k^2-6}{2+3k^2}=-1$ → $k^2=2$ → $k=\pm \sqrt{2}$

避坑指南：$(1)$ 记住通径长 $\frac{2b^2}{a}$（过焦点且垂直于长轴的弦），比重新联立快得多；$(2)$ 计算量在向量展开：$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CB}$ 展开后 $x$ 的一次项会成对抵消，只剩 $6-2(x_1{x}_2+y_1{y}_2)$，这是避免硬算的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、平面向量的数量积。

结论推广：离心率与 $a,b,c$ 的关系；通径长公式；韦达定理；向量数量积的坐标运算。

方法推广：由 $e$ 与通径长解出 $a,b$ → 联立直线与椭圆用韦达定理 → 展开向量数量积化为对称式 → 解 $k$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比
• 2013-新课标I卷文-21 解-椭圆与圆的公切线
• 2013-安徽卷文-21 解-椭圆切线唯一性