2010-大纲卷I理-18 解-二项分布

本题导读

本题考查概率与统计在实际生活中的应用。第一问需要理清稿件被录用的互斥分类路径，运用独立事件乘法公式求解单篇录用概率；第二问将单篇概率抽象为独立重复试验，构建二项分布模型并求解其分布列与期望。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3．各专家独立评审．

(1)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；

(2)记 $X$ 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 $X$ 的分布列及期望．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：一篇文章被录用分为两种互斥情况：① 初审两位专家均通过；② 初审恰有一人通过且复审通过。分别求出概率后相加。

2. 第二问：因为 4 篇稿件相互独立，且单篇录用概率固定，所以随机变量 $X$ 服从二项分布 $B(4,p)$。利用二项分布公式求出各概率并列出分布列，再利用期望公式 $E(X)=np$ 计算。

✅【答案】

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（1）一篇稿件被录用有两种互斥情形：两位初审专家都通过，或恰有一位初审专家通过且复审专家通过.因而录用概率为𝑝=(12)

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）设事件 $A$ 为“1 篇稿件被录用”，事件 $B_1$ 为“初审两位专家均通过”，事件 $B_2$ 为“初审两位专家中恰有一人通过且复审通过”。 根据题意，事件 $B_1$ 与 $B_2$ 互斥，且各专家评审相互独立，则： $P(B_1)=0.5\times 0.5=0.25$； $P(B_2)=C_2^1\times 0.5\times (1-0.5)\times 0.3=2\times 0.5\times 0.5\times 0.3=0.15$。 所以，1 篇稿件被录用的概率为： $PA.=P(B_1)+P(B_2)=0.25+0.15=0.4$．

（2）由于 4 篇稿件是否被录用相互独立，且每篇录用的概率均为 $p=0.4$， 所以随机变量 $X$ 服从二项分布，即 $X\sim B(4,0.4)$． $X$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4． 根据公式 $P(X=k)=C_4^k\cdot (0.4{)}^k\cdot (0.6{)}^{4-k}$，可计算得：

• $P(X=0)=C_4^0\times (0.4{)}^0\times (0.6{)}^4=0.1296$；
• $P(X=1)=C_4^1\times (0.4{)}^1\times (0.6{)}^3=4\times 0.4\times 0.216=0.3456$；
• $P(X=2)=C_4^2\times (0.4{)}^2\times (0.6{)}^2=6\times 0.16\times 0.36=0.3456$；
• $P(X=3)=C_4^3\times (0.4{)}^3\times (0.6{)}^1=4\times 0.064\times 0.6=0.1536$；
• $P(X=4)=C_4^4\times (0.4{)}^4\times (0.6{)}^0=0.0256$．

所以 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2	3	4
$P$	0.1296	0.3456	0.3456	0.1536	0.0256

因为 $X\sim B(4,0.4)$， 所以其数学期望为 $E(X)=4\times 0.4=1.6$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：互斥事件及独立事件概率的交叉应用、二项分布模型的识别与计算。
2. 核心方法：分类讨论计数法、二项分布期望公式法。
3. 避坑指南：

• 第一问计算初审恰有一人通过时，极易漏掉排列组合数 $C_2^1$，误算为 $0.5\times 0.5\times 0.3=0.075$。

• 第二问写出分布列后，应当自检各概率之和是否为 1（$0.1296+0.3456+0.3456+0.1536+0.0256=1$），以保证代数计算无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自生产生活中的“多重质检”或“多轮面试”流程。在概率论中，这属于多阶段决策树概率模型的典型简化，用于考查概率主干考点的综合落地。

2. 结论推广：若某任务需经过 $n$ 道独立初审，若全通过则成功；若全不通过则失败；若通过 $k$ 道（$0<k<n$）则进入复审（成功率为 $q$）。其单次成功率可统一表述为 $P=p^n+{\sum }_{k=1}^{n-1}{C}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}\cdot q$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

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• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率