2010-大纲卷I理-21 解-抛物线

本题导读

本题是一道解析几何压轴题。第一问考查直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理通过斜率相等证明三点共线；第二问通过向量数量积确定直线参数，并结合坐标轴对称性确定内切圆圆心与半径。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 已知抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过点 $K(-1,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A、B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$.

(1)证明：点 $F$ 在直线 $BD$ 上；

(2)设 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=\frac{8}{9}$，求 $△BDK$ 的内切圆 $M$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：易知焦点 $F(1,0)$。设直线 $l:x=my-1$，与抛物线联立得到韦达定理形式。计算 $k_{FB}$ 与 $k_{FD}$，证明二者相等即可判定三点共线。

2. 第二问：用坐标表示出 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}$，结合韦达定理求出 $m^2$ 的值。利用对称性可知 $x$ 轴为 $\angle BKD$ 的角平分线，从而内切圆圆心在 $x$ 轴上。利用点到两条边直线距离相等列方程求出圆心与半径。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：由抛物线 $C:y^2=4x$ 可知，其焦点为 $F(1,0)$。 由题意，过点 $K(-1,0)$ 的直线 $l$ 斜率显然不为 0，故可设直线 $l$ 的方程为 $x=my-1$。 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $D(x_1,-y_1)$。 联立 $\{\begin{array}{l}x=my-1\\ y^2=4x\end{array}⟹y^2-4my+4=0$。 由韦达定理得：$y_1+y_2=4m$，$y_1{y}_2=4$。

（1）证明：要证点 $F$ 在直线 $BD$ 上，只需证 $B,F,D$ 三点共线，即证 $k_{FB}=k_{FD}$。 $k_{FB}=\frac{y_2-0}{x_2-1}=\frac{y_2}{\frac{y_2^2}{4}-1}=\frac{4y_2}{y_2^2-4}$ $k_{FD}=\frac{-y_1-0}{x_1-1}=\frac{-y_1}{\frac{y_1^2}{4}-1}=\frac{-4y_1}{y_1^2-4}$ 要使 $k_{FB}=k_{FD}$，只需 $\frac{4y_2}{y_2^2-4}=\frac{-4y_1}{y_1^2-4}$， 交叉相乘变形得：$y_2(y_1^2-4)+y_1(y_2^2-4)=0⟹y_1{y}_2(y_1+y_2)-4(y_1+y_2)=0⟹(y_1{y}_2-4)(y_1+y_2)=0$。 因为 $y_1{y}_2=4$，上式显然恒成立，故 $k_{FB}=k_{FD}$。 所以 $B,F,D$ 三点共线，点 $F$ 在直线 $BD$ 上。

（2）因为 $F(1,0)$，则 $\overrightarrow{FA}=(x_1-1,y_1)$，$\overrightarrow{FB}=(x_2-1,y_2)$。 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=(x_1-1)(x_2-1)+y_1{y}_2=(m{y}_1-2)(m{y}_2-2)+y_1{y}_2=m^2{y}_1{y}_2-2m(y_1+y_2)+4+y_1{y}_2$。 代入韦达定理得： $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=4m^2-2m(4m)+4+4=8-4m^2$。 已知 $8-4m^2=\frac{8}{9}⟹4m^2=\frac{64}{9}⟹m^2=\frac{16}{9}$。 由图形对称性，不妨取 $m=\frac{4}{3}$，此时直线 $l(BK)$ 的方程为 $x=\frac{4}{3}y-1⟹3x-4y+3=0$。 因为 $A,D$ 关于 $x$ 轴对称，$K(-1,0)$ 在 $x$ 轴上，所以直线 $DK$ 的方程为 $3x+4y+3=0$。 由此可知，$x$ 轴为 $\angle BKD$ 的角平分线，故 $△BDK$ 的内切圆圆心 $M$ 必在 $x$ 轴上。 设 $M(x_0,0)$，由题意 $-1<x_0<1$。 圆心 $M$ 到直线 $BK$ 的距离即为内切圆半径 $r$：$r=\frac{|3x_0+3|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{3x_0+3}{5}$。 又由（1）知直线 $BD$ 过焦点 $F(1,0)$，其斜率 $k_{BD}=\frac{4}{y_2-y_1}$。 因 $(y_2-y_1{)}^2=(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2=16m^2-16=16\times \frac{16}{9}-16=\frac{112}{9}$， 故 $y_2-y_1=\frac{4\sqrt{7}}{3}$（不妨设 $y_2>y_1$），得 $k_{BD}=\frac{4}{4\sqrt{7}/3}=\frac{3}{\sqrt{7}}$。 所以直线 $BD$ 的方程为 $y-0=\frac{3}{\sqrt{7}}(x-1)⟹3x-\sqrt{7}y-3=0$。 圆心 $M(x_0,0)$ 到直线 $BD$ 的距离同样为 $r$：$r=\frac{|3x_0-3|}{\sqrt{3^2+(-\sqrt{7}{)}^2}}=\frac{3-3x_0}{4}$。 由距离相等得：$\frac{3x_0+3}{5}=\frac{3-3x_0}{4}⟹12x_0+12=15-15x_0⟹27x_0=3⟹x_0=\frac{1}{9}$。 代入求得半径 $r=\frac{3\times \frac{1}{9}+3}{5}=\frac{2}{3}$。 故 $△BDK$ 的内切圆 $M$ 的方程为：${\left(x-\frac{1}{9}\right)}^2+y^2=\frac{4}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与抛物线联立的常规计算、三点共线的向量或斜率证法、三角形内切圆几何性质。

2. 核心方法：利用对称轴简化圆心坐标的定位，通过点到直线距离公式构建关于圆心横坐标的方程。

3. 避坑指南：第二问求直线 $BD$ 斜率时涉及 $y_2-y_1$ 的开方计算，数字较为冗杂，应注意配凑和化简；去绝对值表示距离时，需根据 $x_0$ 的范围精确判定正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由经典解析几何性质“过抛物线准线上任一点引两条割线，若满足特定对称性，则对应的对角弦必过焦点”改编而来，融合了圆的性质，属于大纲卷时期的代表性压轴题。

2. 结论推广：对于抛物线 $y^2=2px$，过其准线与 $x$ 轴交点 $K\left(-\frac{p}{2},0\right)$ 的任意割线相交于 $A,B$，点 $A$ 关于轴的对称点为 $D$，则直线 $BD$ 恒过焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷文-19 解-抛物线焦点弦与向量
• 2011-湖北卷文-04 单-抛物线焦点正三角形
• 2011-湖南卷文-21 解-抛物线轨迹与向量最值