2011-江西卷文-19 解-抛物线焦点弦与向量

本题导读

本题考查抛物线的标准方程，以及焦点弦长。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 已知过抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点，斜率为 $2\sqrt{2}$ 的直线交抛物线于 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$（$x_1<x_2$）两点，且 $|AB|=9$.

(1)求该抛物线的方程；

(2)$O$ 为坐标原点，$C$ 为抛物线上一点.若 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OB}$，求 $\lambda$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：（1）联立直线与抛物线
2. 步骤2：$|AB|=x_1+x_2+p$ 定 $p$
3. 步骤3：（2）$C(x_C,y_C)$ 由 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OB}$ 表出
4. 步骤4：代入 $y^2=8x$ 解 $\lambda$

✅【答案】

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(1) $y^2=8x$

(2) $\lambda =2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，直线 $l:y=2\sqrt{2}\left(x-\frac{p}{2}\right)$。

联立 $y^2=2px$：$8{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2=2px$，即 $4x^2-5px+p^2=0$。

$x_1+x_2=\frac{5p}{4}$。由抛物线定义，$|AB|=x_1+x_2+p=\frac{9p}{4}=9$，得 $p=4$。

抛物线方程为 $y^2=8x$。

（2）$p=4$ 时，$4x^2-20x+16=0$，即 $x^2-5x+4=0$，$x_1=1$，$x_2=4$，$y_1=2\sqrt{2}(1-2)=-2\sqrt{2}$，$y_2=4\sqrt{2}$。故 $A(1,-2\sqrt{2})$，$B(4,4\sqrt{2})$。

设 $C(x,y)$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OB}=(1+4\lambda ,-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}\lambda )$。

$C$ 在抛物线上：$(-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}\lambda {)}^2=8(1+4\lambda )$，即 $8(2\lambda -1{)}^2=8(1+4\lambda )$。

$(2\lambda -1{)}^2=1+4\lambda$，$4{\lambda }^2-8\lambda =0$，$\lambda =0$ 或 $\lambda =2$。

$\lambda =0$ 时 $C=A$（与点 $A$ 重合），不合题意，舍去。故 $\lambda =2$（此时 $C=(9,6\sqrt{2})$，检验 $(6\sqrt{2}{)}^2=72=8\times 9$ 成立）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与抛物线联立；焦点弦长 $|AB|=x_1+x_2+p$；向量线性运算；点在曲线上的代数刻画

核心方法：弦长用”定义平移”式 $x_1+x_2+p$ 免去距离公式；（2）把几何向量关系写成坐标，代入曲线方程化为一元二次

避坑指南：$|AB|=x_1+x_2+p$ 中末项是 $p$ 不是 $\frac{p}{2}$；$\lambda =0$ 给出 $C=A$，题目要求 $C$ 为抛物线上（异于 $A$，$B$ 的）一点，须舍去并说明理由；$y_1$ 的符号由直线方程算出（$x_1<x_2$ 对应 $y_1<0$），配错象限会让 $A$，$B$ 对调。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点弦与向量综合题与 2011-新课标卷文-09、2012-安徽卷文-14、2013-新课标II卷文-10 同族。

结论推广：推广：焦点弦长 $|AB|=x_1+x_2+p$ 只与两横坐标有关，联立后用韦达定理即得，无需距离公式；“一点 $C$ 落在曲线上且 $\overrightarrow{OC}=u\overrightarrow{OA}+v\overrightarrow{OB}$“型问题，代坐标入曲线方程后常析出公因式，除 $0$ 根（重合点）外即所求。

方法推广：抛物线大题：弦长问题第一步联立、韦达；向量关系问题第一步写坐标、代入曲线；解出多根时逐一根检验几何意义（重合、舍取）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-09 单-抛物线焦点弦面积
• 2012-安徽卷文-14 填-抛物线焦点弦
• 2013-新课标II卷文-10 单-抛物线焦点弦