2011-湖南卷文-21 解-抛物线轨迹与向量最值

本题导读

本题考查轨迹方程（分类讨论），以及抛物线的定义与焦点弦。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 已知平面内一动点 $P$ 到点 $F(1,0)$ 的距离与点 $P$ 到 $y$ 轴的距离的差等于 $1$.

(1) 求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2) 过点 $F$ 作两条斜率存在且互相垂直的直线 $l_1$，$l_2$，设 $l_1$ 与轨迹 $C$ 相交于点 $A$，$B$，$l_2$ 与轨迹 $C$ 相交于点 $D$，$E$，求 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{EB}$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 按 $x⩾0$ 与 $x<0$ 分类去绝对值
2. 步骤2：(2) 把 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{EB}$ 分解为焦半径乘积 $|FA||FB|+|FD||FE|$
3. 步骤3：再用 $k^2+k^{-2}⩾2$

✅【答案】

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(1) 轨迹 $C$ 的方程为 $y^2=4x$（$x⩾0$）与 $y=0$（$x<0$）

(2) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{EB}$ 的最小值为 $16$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $P(x,y)$。到 $y$ 轴的距离为 $|x|$，按 $x$ 的符号分类。

当 $x⩾0$ 时：$\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}-x=1$，即 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=x+1$，两边平方得 $(x-1{)}^2+y^2=(x+1{)}^2$，化简得 $y^2=4x$（$x⩾0$，抛物线过原点含 $x=0$）。

当 $x<0$ 时：$\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}-(-x)=1$，即 $(x-1{)}^2+y^2=(1-x{)}^2$，化简得 $y^2=0$，即 $y=0$（$x<0$）。

故轨迹 $C$ 为抛物线弧 $y^2=4x$（$x⩾0$）与 $x$ 轴负半轴射线 $y=0$（$x<0$）。

(2) 直线斜率存在，若 $k=0$ 则 $l_1$ 为 $x$ 轴，与 $y=0$（$x<0$）重合、交点不构成两点的情形，故 $k\ne 0$。设 $l_1:y=k(x-1)$（$k\ne 0$），则 $l_2:y=-\frac{1}{k}(x-1)$。

$l_1$ 与 $y^2=4x$ 联立：$k^2{x}^2-(2k^2+4)x+k^2=0$，得 $x_A+x_B=2+\frac{4}{k^2}$，$x_A{x}_B=1$。

$|FA|=x_A+1$，$|FB|=x_B+1$（焦半径），故 $|FA||FB|=(x_A+1)(x_B+1)=x_A{x}_B+x_A+x_B+1=4+\frac{4}{k^2}$。

同理，$l_2$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$，$|FD||FE|=4+4k^2$。

$A$，$B$ 在 $l_1$ 上且分居 $F$ 两侧，$D$，$E$ 在 $l_2$ 上且分居 $F$ 两侧（$F$ 不是轨迹上的点），设 $A$，$D$ 同侧，则

$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{EB}=(\overrightarrow{FD}-\overrightarrow{FA})\cdot (\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{FE})=\overrightarrow{FD}\cdot \overrightarrow{FB}-\overrightarrow{FD}\cdot \overrightarrow{FE}-\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FE}$。

由 $l_1\perp l_2$，$\overrightarrow{FD}\cdot \overrightarrow{FB}=0$，$\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FE}=0$；$\overrightarrow{FD}\cdot \overrightarrow{FE}=-|FD||FE|$，$\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=-|FA||FB|$。

故 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{EB}=|FA||FB|+|FD||FE|=8+4\left(k^2+\frac{1}{k^2}\right)⩾8+4\times 2=16$。

当且仅当 $k^2=1$（$k=\pm 1$）时取等号，最小值为 $16$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含绝对值的轨迹方程分类讨论；抛物线焦半径与焦点弦乘积；垂直条件下向量数量积的分解；基本不等式

核心方法：(1) 对 $x$ 的符号去绝对值，平方时注意等价性；(2) 把斜向量差分解到 $F$ 出发的四个焦半径向量上，用垂直消去交叉项，化归为两条焦点弦的焦半径乘积

避坑指南：(1) 平方前要保证两边非负（$x+1⩾0$、$1-x>0$ 均成立），且 $y=0$（$x<0$）这段射线不可漏——只答抛物线是常见丢分；平方后若不检验会误以为 $x<0$ 时还有别的曲线。(2) 中 $k=0$ 需排除；$x_A{x}_B=1$ 来自韦达定理（$x_1{x}_2=\frac{k^2}{k^2}$），是焦半径乘积化简的核心；$k^2+\frac{1}{k^2}⩾2$ 取等要求 $k=\pm 1$，此时两直线斜率为 $\pm 1$，对称性最好。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轨迹与焦点弦题与 2011-湖北卷文-21、2012-江西卷文-20、2011-新课标卷文-09 同族。

结论推广：推广：抛物线 $y^2=2px$ 的焦点弦斜率为 $k$ 时，$|FA||FB|=\frac{p^2(1+k^2{)}^2}{4k^2}$ 的等价形式可由焦半径 $|FQ|=x_Q+\frac{p}{2}$ 直接展开；两条互相垂直的焦点弦其焦半径乘积之和只与 $k^2+k^{-2}$ 有关，最小值在 $k=\pm 1$ 处取得。

方法推广：圆锥曲线与向量综合题：把非焦点出发的向量差全部分解到焦点向量（$\overrightarrow{FD}-\overrightarrow{FA}$ 型），垂直与共线性质会大量消项，最后往往落在焦半径乘积与基本不等式上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-21 解-轨迹方程与焦点三角形
• 2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线
• 2011-新课标卷文-09 单-抛物线焦点弦面积