2010-大纲卷II文-10 单-角平分线向量分解

本题导读

考查角平分线向量分解。$D$ 内分 $AB$ 为 $2:1$，$\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） $△ABC$ 中，点 $D$ 在边 $AB$ 上，$CD$ 平分 $\angle ACB$.若 $\overrightarrow{CB}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{CA}=\mathbf{b}$，$|\mathbf{a}|=1$，$|\mathbf{b}|=2$，则 $\overrightarrow{CD}=$()

A. $\frac{1}{3}\mathbf{a}+\frac{2}{3}\mathbf{b}$　　B. $\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}$　　C. $\frac{3}{5}\mathbf{a}+\frac{4}{5}\mathbf{b}$　　D. $\frac{4}{5}\mathbf{a}+\frac{3}{5}\mathbf{b}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 角平分线定理：$\frac{AD}{DB}=\frac{CA}{CB}=\frac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|}=\frac{2}{1}$。
2. $D$ 内分 $AB$ 使 $AD:DB=2:1$，即 $\overrightarrow{CD}=\frac{1\cdot \overrightarrow{CA}+2\cdot \overrightarrow{CB}}{1+2}$。
3. $\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由角平分线定理， $\frac{AD}{DB}=\frac{CA}{CB}=\frac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|}=\frac{2}{1},$ 即 $D$ 在线段 $AB$ 上且 $AD:DB=2:1$。 由定比分点向量公式， $\overrightarrow{CD}=\frac{DB\cdot \overrightarrow{CA}+AD\cdot \overrightarrow{CB}}{AD+DB}=\frac{\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}}{3}=\frac{1}{3}\mathbf{b}+\frac{2}{3}\mathbf{a}.$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：角平分线定理与向量定比分点

核心方法：$AD:DB=CA:CB=2:1$，$\overrightarrow{CD}=\frac{\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}}{3}$

避坑指南：比值是 $CA:CB=|\mathbf{b}|:|\mathbf{a}|=2:1$，边长与向量对应关系别颠倒：靠近 $B$ 一侧权重给 $\overrightarrow{CB}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：角平分线定理：$CD$ 平分 $\angle C⟺\frac{AD}{DB}=\frac{CA}{CB}$。

结论推广：定比分点向量公式：$D$ 分 $AB$ 为 $AD:DB=m:n$，则 $\overrightarrow{CD}=\frac{n\overrightarrow{CA}+m\overrightarrow{CB}}{m+n}$（交叉配重）。

方法推广：结果中两系数之和必为 $1$，可快速检验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.07 角平分线模型

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-22 解-四点共圆与角平分线
• 2009-安徽卷文-14 填-向量基底分解
• 2009-湖南卷文-15 填-向量基底分解
• 2011-大纲卷文-16 填-双曲线角平分线