2011-大纲卷文-16 填-双曲线角平分线

本题导读

本题考查双曲线的定义，以及角平分线定理。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 已知 $F_1$、$F_2$ 分别为双曲线 $C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$ 的左、右焦点，点 $A\in C$，点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$，$AM$ 为 $\angle F_{1}A{F}_2$ 的平分线．则 $|A{F}_2|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：内角平分线定理：$\frac{|A{F}_1|}{|A{F}_2|}=\frac{|M{F}_1|}{|M{F}_2|}=2$
2. 步骤2：结合 $|A{F}_1|-|A{F}_2|=2a=6$

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

$a^2=9$，$b^2=27$，$c^2=36$，$c=6$，故 $F_1=(-6,0)$，$F_2=(6,0)$，$M=(2,0)$。

$|M{F}_1|=8$，$|M{F}_2|=4$。由内角平分线定理，$\frac{|A{F}_1|}{|A{F}_2|}=\frac{|M{F}_1|}{|M{F}_2|}=2$。

双曲线定义（$A$ 在右支）：$|A{F}_1|-|A{F}_2|=2a=6$。设 $|A{F}_2|=t$，则 $2t-t=6$，$t=6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的第一定义；三角形内角平分线定理

核心方法：角平分线 + 焦点三角形：用角平分线定理把比值转化为到焦点的距离比，再与定义式联立

避坑指南：$A$ 在右支还是左支要判断：$M=(2,0)$ 在两焦点之间，角平分线指向 $x$ 轴正方向，$A$ 在右支；若在左支则 $|A{F}_2|-|A{F}_1|=6$ 与比值 $2$ 联立无正数解，可反证位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦点三角形与角平分线的组合与 2012-大纲卷文-10（双曲线焦点三角形）、2013-湖南卷文-14（双曲线焦点三角形）同族。

结论推广：推广：一般双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，角平分线交 $x$ 轴于 $M$，则 $\frac{|M{F}_1|}{|M{F}_2|}=\frac{|A{F}_1|}{|A{F}_2|}$，与定义联立可解 $|A{F}_2|=\frac{2a|M{F}_2|}{|M{F}_1|-|M{F}_2|}$。

方法推广：焦点三角形题：先写 $a,b,c$ 三量，再看角平分线/中线/高给出哪个几何关系，最后与定义式 $\pm 2a$ 联立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-10 单-双曲线焦点三角形
• 2013-湖南卷文-14 填-双曲线焦点三角形