2010-大纲卷II文-13 填-同角三角求值

本题导读

考查同角关系。${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+1/4}=\frac{4}{5}$，第二象限取负，$\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 已知 $\alpha$ 是第二象限的角，$\tan \alpha =-\frac{1}{2}$，则 $\cos \alpha =$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1}{1+1/4}=\frac{4}{5}$。
2. 第二象限 $\cos \alpha <0$。
3. $\cos \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

✅【答案】

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$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$，得 ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}.$ 因为 $\alpha$ 是第二象限角，$\cos \alpha <0$， 所以 $\cos \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角关系求余弦

核心方法：$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$，象限定号

避坑指南：第二象限 $\cos \alpha <0$，开方必须取负；只算出 ${\cos }^2\alpha =\frac{4}{5}$ 不写符号等于没做完。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：知 $\tan \alpha$ 求 $\sin ,\cos$ 的两条路径：平方关系或直角三角形（$1,2,\sqrt{5}$）。

结论推广：象限符号是三角求值的第一道关卡，先定号再算值。

方法推广：结果分母有理化：$-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数
• 2013-大纲卷文-02 单-同角三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数
• 2012-辽宁卷文-06 单-同角三角函数求值