2010-大纲卷II理-03 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划、目标函数的最值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ y\ge x\\ 3x+2y\le 5\end{array}$，则 $z=2x+y$ 的最大值为 ()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 作出约束条件表示的平面区域（可行域）。
2. 求出可行域各个顶点的坐标。
3. 将顶点坐标代入目标函数 $z=2x+y$ 比较得出最大值。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

联立三条边界直线方程，求得可行域的顶点坐标分别为：

• $A(-1,-1)$（由 $x=-1$ 与 $y=x$ 交点得出）
• $B(-1,4)$（由 $x=-1$ 与 $3x+2y=5$ 交点得出）
• $C(1,1)$（由 $y=x$ 与 $3x+2y=5$ 交点得出）

将各顶点坐标代入目标函数 $z=2x+y$：

• 在点 $A(-1,-1)$ 处，$z=2(-1)+(-1)=-3$
• 在点 $B(-1,4)$ 处，$z=2(-1)+4=2$
• 在点 $C(1,1)$ 处，$z=2(1)+1=3$

比较可知，$z$ 的最大值为 $3$。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式（组）表示平面区域与线性规划。
2. 核心方法：画图寻找可行域顶点，代入比较。
3. 避坑指南：求交点坐标时需认真核对是否落入对应约束半平面内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考线性规划经典题型，考察数形结合能力。
2. 结论推广：线性目标函数 $z=ax+by$ 在凸多边形可行域上的最值必在多边形的顶点或边界处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域