2010-大纲卷II理-12 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的几何性质与离心率、向量共线与坐标表示，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，过右焦点 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点. 若 $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，则 $k=$ ()

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 确定 $a,b,c$ 之间的比例关系，不妨设 $b=1$ 简化计算。
2. 设过焦点 $F(c,0)$ 的直线方程为 $x=my+c$（其中 $m=\frac{1}{k}$）。
3. 联立直线与椭圆方程，运用韦达定理表示点坐标。
4. 将 $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$ 转化为纵坐标表达 $y_1=-3y_2$，代入求解 $m$ 进而得到 $k$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $\frac{c^2}{a^2}=\frac{3}{4}⟹a^2=4b^2,c=\sqrt{3}b$。 设 $b=1$，则 $a=2,c=\sqrt{3}$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，右焦点 $F(\sqrt{3},0)$。

设直线 $AB$ 的方程为 $x=my+\sqrt{3}$（其中 $m=\frac{1}{k}$）。 代入椭圆方程得： $\frac{(my+\sqrt{3}{)}^2}{4}+y^2=1⟹(m^2+4)y^2+2\sqrt{3}my-1=0$

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由韦达定理得： $y_1+y_2=\frac{-2\sqrt{3}m}{m^2+4},y_1{y}_2=\frac{-1}{m^2+4}$

由 $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$ 得，$(\sqrt{3}-x_1,-y_1)=3(x_2-\sqrt{3},y_2)$，从而 $y_1=-3y_2$。

代入韦达定理： $-2y_2=\frac{-2\sqrt{3}m}{m^2+4}⟹y_2=\frac{\sqrt{3}m}{m^2+4}$ $-3y_2^2=\frac{-1}{m^2+4}⟹3y_2^2=\frac{1}{m^2+4}$

将 $y_2$ 代入下式： $3{\left(\frac{\sqrt{3}m}{m^2+4}\right)}^2=\frac{1}{m^2+4}⟹\frac{9m^2}{(m^2+4{)}^2}=\frac{1}{m^2+4}⟹9m^2=m^2+4$ $8m^2=4⟹m^2=\frac{1}{2}$

因为 $k>0$，故 $m=\frac{1}{k}>0⟹m=\frac{1}{\sqrt{2}}$，所以 $k=\sqrt{2}$。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：设直线方程为 $x=my+x_0$ 避免讨论斜率不存在，利用韦达定理求解。
2. 核心方法：向量条件转化为坐标形式，优先利用纵坐标计算。
3. 避坑指南：向量 $\overrightarrow{FB}=(x_2-c,y_2-0)$，注意方向与正负号，勿将 $y_1=-3y_2$ 错写为 $y_1=3y_2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于圆锥曲线焦点弦的向量比例经典模型。
2. 结论推广：若过椭圆焦点的直线与椭圆交于 $A,B$，且 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}$，可推导出直线斜率与离心率 $e$ 和 $\lambda$ 的通用关系式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量
• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比