2010-大纲卷II理-13 填-三角函数

本题导读

本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 已知 $\alpha$ 是第二象限的角，$\tan (\pi +2\alpha )=-\frac{4}{3}$，则 $\tan \alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据诱导公式 $\tan (\pi +\theta )=\tan \theta$ 化简已知条件得出 $\tan 2\alpha =-\frac{4}{3}$。
2. 应用二倍角正切公式 $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$ 列出关于 $\tan \alpha$ 的方程。
3. 根据 $\alpha$ 所在象限判定 $\tan \alpha$ 的正负符号，筛选出正确解。

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** $-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式得： $\tan (\pi +2\alpha )=\tan 2\alpha =-\frac{4}{3}$

展开二倍角公式： $\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=-\frac{4}{3}$

交叉相乘化简： $6\tan \alpha =-4(1-{\tan }^2\alpha )⟹4{\tan }^2\alpha -6\tan \alpha -4=0⟹2{\tan }^2\alpha -3\tan \alpha -2=0$

因式分解得： $(2\tan \alpha +1)(\tan \alpha -2)=0⟹\tan \alpha =-\frac{1}{2}\text{或}\tan \alpha =2$

因为 $\alpha$ 是第二象限角，所以 $\tan \alpha <0$。 故 $\tan \alpha =-\frac{1}{2}$。

答案： $-\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角正切公式与象限角的三角符号。
2. 核心方法：方程法求解三角函数值。
3. 避坑指南：解方程得到两个根后，必须根据象限限制剔除增根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于必修四三角恒等变换基础练习题。
2. 结论推广：已知 $\tan 2\alpha =m$，则 $\tan \alpha =\frac{-1\pm \sqrt{1+m^2}}{m}$，符号由 $\alpha$ 所在象限决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数