2010-大纲卷II理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理、两角差的正弦公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 在 $△ABC$ 中，$D$ 为边 $BC$ 上的一点，$BD=33$，$\sin B=\frac{5}{13}$，$\cos \angle ADC=\frac{3}{5}$，求 $AD$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $\cos \angle ADC=\frac{3}{5}$ 利用同角三角函数关系求出 $\sin \angle ADC$ 的值。
2. 根据三角形外角定理得 $\angle ADC=B+\angle BAD$，进而有 $\angle BAD=\angle ADC-B$。
3. 利用两角差的正弦公式求出 $\sin \angle BAD$。
4. 在 $△ABD$ 中应用正弦定理，通过 $\frac{AD}{\sin B}=\frac{BD}{\sin \angle BAD}$ 求得 $AD$。

✅【答案】

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所以𝐴𝐷= 33 ⋅513 ⋅6533 = 25，即𝐴𝐷= 25

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\cos \angle ADC=\frac{3}{5}>0$，所以 $\angle ADC$ 为锐角，得： $\sin \angle ADC=\sqrt{1-{\cos }^2\angle ADC}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$

由 $\angle ADC>B$ 及 $\sin B=\frac{5}{13}$ 可知 $B$ 为锐角，故： $\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\frac{12}{13}$

在 $△ABD$ 中，$\angle ADC$ 是 $△ABD$ 的外角，所以： $\angle ADC=B+\angle BAD⟹\angle BAD=\angle ADC-B$

展开两角差的正弦公式： $\sin \angle BAD=\sin (\angle ADC-B)=\sin \angle ADC\cos B-\cos \angle ADC\sin B$ $\sin \angle BAD=\frac{4}{5}\times \frac{12}{13}-\frac{3}{5}\times \frac{5}{13}=\frac{48-15}{65}=\frac{33}{65}$

在 $△ABD$ 中，由正弦定理得： $\frac{AD}{\sin B}=\frac{BD}{\sin \angle BAD}$

解得： $AD=BD\cdot \frac{\sin B}{\sin \angle BAD}=33\cdot \frac{\frac{5}{13}}{\frac{33}{65}}=33\cdot \frac{5}{13}\cdot \frac{65}{33}=25$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形外角定理、两角差公式与正弦定理的交汇。
2. 核心方法：寻找目标角与已知角的关系（角转化），将“非直角”问题转化为正弦定理中的对应关系。
3. 避坑指南：计算 $\cos B$ 时需明确 $B$ 为锐角；注意公式 $\sin (\alpha -\beta )$ 的展开符号，勿将减号错算为加号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材解三角形小结中利用外角与正弦定理结合计算线段长的基本例题。
2. 结论推广：在任意三角形分割模型中，若已知分割线上一点与底边构成的两角及一条底边长，均可通过外角表示分割角，并借助正弦定理求出分割线段长。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数