2010-大纲卷II理-20 解-二项分布

本题导读

本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列与期望。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 如图，由 $M$ 到 $N$ 的电路中有 4 个组件，分别标为 $T_1,T_2,T_3,T_4$，电流能通过 $T_1,T_2,T_3$ 的概率都是 $p$，电流能通过 $T_4$ 的概率是 $0.9$. 电流能否通过各组件相互独立. 已知 $T_1,T_2,T_3$ 中至少有一个能通过电流的概率为 $0.999$.

(1) 求 $p$；

(2) 求电流能在 $M$ 与 $N$ 之间通过的概率；

(3) $\xi$ 表示 $T_1,T_2,T_3,T_4$ 中能通过电流的组件个数，求 $\xi$ 的期望.

🔍【思路分析】

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1. 利用“至少有一个”的对立事件（三个组件都不能通过电流），列出方程求 $p$。
2. 分析电路图：电路分为上下两条并联支路，上支路由 $(T_1\text{ 与 }{T}_2\text{ 并联})$ 再与 $T_3$ 串联而成，下支路为 $T_4$。利用对立事件计算电路整体通电概率。
3. 识别出 $T_1,T_2,T_3,T_4$ 各组件通电概率均为 $0.9$ 且相互独立，故 $\xi \sim B(4,0.9)$，直接套用二项分布期望公式 $E(\xi )=np$。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 记事件 $A_i$ 为“电流能通过组件 $T_i$”（$i=1,2,3,4$）。 由题意，$P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=p$。

$T_1,T_2,T_3$ 都不能通过电流的概率为 $(1-p{)}^3$。 根据对立事件概率公式： $1-(1-p{)}^3=0.999⟹(1-p{)}^3=0.001⟹1-p=0.1⟹p=0.9$

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(2) 设电路从 $M$ 到 $N$ 通电为事件 $B$。 电路结构由两条并联支路组成：

• 上支路：$(T_1\text{ 或 }{T}_2\text{ 通电})\text{ 且 }{T}_3\text{ 通电}$。 $T_1,T_2$ 中至少有一个通电的概率为 $1-(1-p{)}^2=1-0.1^2=0.99$。 故上支路通电的概率为： $P_{\text{上}}=0.99\times p=0.99\times 0.9=0.891$

• 下支路：$T_4\text{ 通电}$，通电概率为： $P_{\text{下}}=0.9$

电路不能通电的情况为上、下两条支路均不通电。 两支路不通电的概率分别为： $1-P_{\text{上}}=1-0.891=0.109,1-P_{\text{下}}=1-0.9=0.1$

故电流能在 $M$ 与 $N$ 之间通过的概率为： $PB.=1-(1-P_{\text{上}})(1-P_{\text{下}})=1-0.109\times 0.1=1-0.0109=0.9891$

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(3) 由 (1) 知，$P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=P(A_4)=0.9$。 由于各组件能否通过电流相互独立，因此能通过电流的组件个数 $\xi$ 服从二项分布： $\xi \sim B(4,0.9)$

由二项分布的期望公式得： $E(\xi )=np=4\times 0.9=3.6$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对立事件概率公式、串并联电路概率模型、二项分布及其期望。
2. 核心方法：

• “正难则反”：处理“至少”问题及“并联电路通电”问题时，优先利用对立事件简化计算。
• 二项分布判定：多重独立重复试验模型直接应用期望公式 $E(\xi )=np$。

3. 避坑指南：第 (2) 问中注意上支路是 $T_1,T_2$ 并联后再与 $T_3$ 串联，逻辑关系为 $(T_1\cup T_2)\cap T_3$，运算时切勿混淆串联与并联的乘加法则。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于概率论中系统可靠性（Reliability Theory）与网络通断概率的经典计算模型。
2. 结论推广：对具有 $n$ 个相同独立元件的并联系统，系统通电概率为 $1-(1-p{)}^n$；串联系统通电概率为 $p^n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率