2010-天津卷文-04 单-零点所在区间

本题导读

考查零点区间。$f(0)=-1<0$，$f(1)=\mathrm{e}-1>0$，零点在 $(0,1)$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 函数 $f(x)={\mathrm{e}}^x+x-2$ 的零点所在的一个区间是()

A. $(-2,-1)$　　　　B. $(-1,0)$　　　　C. $(0,1)$　　　　D. $(1,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(-2)={\mathrm{e}}^{-2}-4<0$，$f(-1)={\mathrm{e}}^{-1}-3<0$。
2. $f(0)=-1<0$。
3. $f(1)=\mathrm{e}-1>0$。
4. $f(0)f(1)<0$，零点在 $(0,1)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)={\mathrm{e}}^x+x-2$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续且单调递增（$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+1>0$），故零点唯一。 计算：$f(0)=1+0-2=-1<0$， $f(1)=\mathrm{e}+1-2=\mathrm{e}-1>0$。 由零点存在性定理，零点在区间 $(0,1)$ 内，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数零点存在性定理

核心方法：逐点计算函数值，找变号区间

避坑指南：$f$ 单调递增保证零点唯一，但零点存在性定理只要求连续与变号；端点值只需算到出现变号为止，不必四个区间全算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：零点存在性定理：$f$ 在 $[a,b]$ 连续且 $f(a)f(b)<0$，则 $(a,b)$ 内有零点。

结论推广：${\mathrm{e}}^x$ 与一次函数的混合式是估算零点的常见载体，记住 $\mathrm{e}\approx 2.7$。

方法推广：二分法求近似解是该定理的算法化延伸。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-10 单-零点所在区间
• 2009-福建卷文-11 单-函数零点估算
• 2011-山东卷文-16 填-函数零点区间
• 2012-湖北卷文-03 单-函数零点个数