2011-山东卷文-16 填-函数零点区间

本题导读

本题考查对数函数的单调性，以及函数零点的存在性定理。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)={\log }_{a}x+x-b$（$a>0$，且 $a\ne 1$）.当 $2<a<3<b<4$ 时，函数 $f(x)$ 的零点 $x_0\in (n,n+1)$，$n\in {\mathrm{N}}^{\ast }$，则 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$f$ 单调递增
2. 步骤2：$f(2)<0<f(3)$
3. 步骤3：唯一零点落在 $(2,3)$
4. 步骤4：故 $n=2$

✅【答案】

点击查看答案

$2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a>2>1$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln a}+1>0$（$x>0$），故 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，零点至多一个。

$f(2)={\log }_{a}2+2-b$：由 $a>2$ 得 ${\log }_{a}2<{\log }_{a}a=1$，又 $b>3$，故 $f(2)<1+2-3=0$。

$f(3)={\log }_{a}3+3-b$：由 $a<3$ 得 ${\log }_{a}3>1$，又 $b<4$，故 $f(3)>1+3-4=0$。

由零点存在性定理及单调性，唯一零点 $x_0\in (2,3)$，故 $n=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参对数函数的单调性；零点所在整数区间的夹逼

核心方法：先定单调（保证零点唯一），再用整数点的函数值符号夹出区间，关键放缩用 $a$ 与 $2,3$、$b$ 与 $3,4$ 的大小

避坑指南：${\log }_{a}2<1$ 用的是 $a>2$（底大值小），${\log }_{a}3>1$ 用的是 $a<3$——两处放缩方向相反，若把 $b$ 的界用错（如 $f(2)$ 用 $b<4$）则夹不出结果；$n\in {\mathrm{N}}^{\ast }$ 且区间左端点为 $n$，答案取 $2$ 而非 $3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：零点区间题与 2011-新课标卷文-10、2012-北京卷文-05、2011-天津卷文-08 同族。

结论推广：推广：$f(x)={\log }_{a}x+x-b$ 型零点问题中，把 $x_0$ 满足的 ${\log }_a{x}_0+x_0=b$ 与整数 $k$ 比较的标准动作：证 $f(k)<0<f(k+1)$，两组不等式分别只用 $a$、$b$ 各自的界。

方法推广：零点夹逼题：单调性先行；整数点函数值放缩时，让”不确定的项”被已知界完全吸收，剩下确定符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.16 零点问题
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-10 单-零点所在区间
• 2012-北京卷文-05 单-函数零点个数
• 2011-天津卷文-08 单-新定义运算零点