2012-湖北卷文-03 单-函数零点个数

本题导读

本题考查三角函数的零点，以及函数零点个数的判断。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 函数 $f(x)=x\cos 2x$ 在区间 $[0,2\pi ]$ 上的零点的个数为()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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$x\cos 2x=0$ 给出 $x=0$ 与 $\cos 2x=0$ 的根，$[0,2\pi ]$ 内合计 $5$ 个。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x)=0$ 得 $x=0$ 或 $\cos 2x=0$。

由 $\cos 2x=0$ 得 $2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$，即 $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$（$k\in \mathbf{Z}$）。

在 $[0,2\pi ]$ 内，$x$ 可取 $\frac{\pi }{4}$，$\frac{3\pi }{4}$，$\frac{5\pi }{4}$，$\frac{7\pi }{4}$，共 $4$ 个；又 $x=0$ 也是零点，且 $x=2\pi$ 时 $\cos 4\pi =1$ 不为零。

故零点共 $1+4=5$ 个，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：乘积型函数 $f(x)=x\cos 2x$ 的零点；余弦函数在闭区间上的取值

核心方法：乘积为零等价于各因式分别为零，再在指定区间内对每个因式的根计数后合并

避坑指南：别漏掉 $x=0$：因式 $x$ 本身就是一个零点来源；也别多算 $x=2\pi$，此时 $\cos 4\pi =1$，端点是否为零必须代入检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数零点计数题，与 2013 年上海卷文第 21 题、2013 年天津卷文第 8 题同族。

结论推广：$\cos 2x=0$ 的解为 $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$（$k\in \mathbf{Z}$），相邻两根间隔 $\frac{\pi }{2}$。

方法推广：乘积型函数零点个数：先”因式拆分”再”区间过滤”，两端点单独代入验证，避免漏计或重计。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.08 恒成立问题——隐零点问题
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-21 解-三角零点个数
• 2013-天津卷文-08 单-函数零点比较
• 2013-安徽卷文-10 单-极值复合零点