2010-天津卷文-11 填-圆内接四边形相似

本题导读

考查圆内接四边形。$△PCB\sim △PAD$，$\frac{BC}{AD}=\frac{PB}{PD}=\frac{1}{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 如图，四边形 $ABCD$ 是圆 $O$ 的内接四边形，延长 $AB$ 和 $DC$ 相交于点 $P$.若 $PB=1$，$PD=3$，则 $\frac{BC}{AD}$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆内接四边形外角 $\angle PCB=\angle PAD$，同理 $\angle PBC=\angle PDA$。
2. 故 $△PCB\sim △PAD$。
3. $\frac{BC}{AD}=\frac{PB}{PD}=\frac{1}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A,B,C,D$ 四点共圆， 由圆内接四边形的外角等于它的内对角， $\angle PCB=\angle PAD,\angle PBC=\angle PDA,$ 又 $\angle P$ 公共，故 $△PCB\sim △PAD$。 于是 $\frac{BC}{AD}=\frac{PB}{PD}=\frac{1}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆内接四边形与相似

核心方法：外角等于内对角找等角，证 $△PCB\sim △PAD$

避坑指南：相似对应关系是 $P\leftrightarrow P$、$C\leftrightarrow A$、$B\leftrightarrow D$，故 $\frac{BC}{AD}=\frac{PB}{PD}$ 而不是 $\frac{PB}{PA}$；对应边找错比值就错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆内接四边形外角等于内对角，是圆中找等角的第一工具。

结论推广：本题也可用割线定理 $PB\cdot PA=PD\cdot PC$ 配合相似推导。

方法推广：四点共圆的判定与性质是几何证明选讲的核心。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-11 填-相似与外接圆直径
• 2012-新课标卷文-22 解-圆与相似三角形
• 2014-新课标I卷文-22 解-圆内接四边形
• 2012-辽宁卷文-22 解-圆的切线与相似