2009-天津卷文-11 填-相似与外接圆直径

本题导读

考查相似。$AB\parallel A_1{B}_1$ 得 $△OAB\sim △O{B}_1{A}_1$，相似比 $1:2$，外接圆直径比即相似比，答案 $2$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 如图，$A{A}_1$ 与 $B{B}_1$ 相交于点 $O$，$AB\parallel A_1{B}_1$ 且 $AB=\frac{1}{2}{A}_1{B}_1$，若 $△AOB$ 的外接圆直径为 $1$，则 $△A_{1}O{B}_1$ 的外接圆直径为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $AB\parallel A_1{B}_1\Rightarrow \angle OAB=\angle O{A}_1{B}_1$，$\angle OBA=\angle O{B}_1{A}_1$，故 $△OAB\sim △O{A}_1{B}_1$。
2. 相似比 $=\frac{A_1{B}_1}{AB}=2$。
3. 相似三角形外接圆直径之比等于相似比，故直径为 $1\times 2=2$。

✅【答案】

点击查看答案

$2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $AB\parallel A_1{B}_1$ 得 $\angle OAB=\angle O{A}_1{B}_1$，$\angle OBA=\angle O{B}_1{A}_1$，故 $△OAB\sim △O{A}_1{B}_1,$ 相似比为 $\frac{A_1{B}_1}{AB}=2$。 相似三角形对应边成比例，其外接圆直径之比也等于相似比，故 $△A_{1}O{B}_1$ 的外接圆直径为 $1\times 2=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相似三角形与外接圆

核心方法：识别”8 字形”相似 + 直径成比例

避坑指南：相似比对应的是 $A_1{B}_1:AB=2:1$，大三角形外接圆直径是小三角形的 $2$ 倍，别取倒数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平行线造相似是平面几何基础模型。

结论推广：$AB\parallel A_1{B}_1\Rightarrow △OAB\sim △O{B}_1{A}_1$（对顶角 + 内错角）。

方法推广：相似三角形的外接圆直径比、外接圆半径比都等于相似比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-22 解-圆与相似三角形
• 2013-陕西卷理-09 单-相似三角形的性质与判定
• 2015-新课标II卷文-07 单-外接圆