2010-天津卷文-15 填-等比数列最大项

本题导读

考查等比数列与最值。$T_n=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\left[17-\left((\sqrt{2}{)}^n+\frac{16}{(\sqrt{2}{)}^n}\right)\right]$，当 $(\sqrt{2}{)}^n=4$ 即 $n=4$ 时最大，$n_0=4$。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 是等比数列，公比 $q=\sqrt{2}$，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.记 $T_n=\frac{17S_n-S_{2n}}{a_{n+1}}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.设 $T_{n_0}$ 为数列 $\{T_n\}$ 的最大项，则 $n_0=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $S_n=\frac{a_1((\sqrt{2}{)}^n-1)}{\sqrt{2}-1}$，$a_{n+1}=a_1(\sqrt{2}{)}^n$。
2. 化简 $T_n=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\left[17-\left((\sqrt{2}{)}^n+\frac{16}{(\sqrt{2}{)}^n}\right)\right]$。
3. $(\sqrt{2}{)}^n+\frac{16}{(\sqrt{2}{)}^n}⩾8$，等号当 $(\sqrt{2}{)}^n=4$ 即 $n=4$ 时取得。
4. $n=4\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 可取，故 $n_0=4$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

设首项为 $a_1$。由 $q=\sqrt{2}$， $S_n=\frac{a_1\left((\sqrt{2}{)}^n-1\right)}{\sqrt{2}-1},S_{2n}=\frac{a_1\left((\sqrt{2}{)}^{2n}-1\right)}{\sqrt{2}-1},a_{n+1}=a_1(\sqrt{2}{)}^n.$ 代入： $17S_n-S_{2n}=\frac{a_1}{\sqrt{2}-1}\left[-(\sqrt{2}{)}^{2n}+17(\sqrt{2}{)}^n-16\right],$ $T_n=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\cdot \frac{-(\sqrt{2}{)}^{2n}+17(\sqrt{2}{)}^n-16}{(\sqrt{2}{)}^n}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\left[17-\left((\sqrt{2}{)}^n+\frac{16}{(\sqrt{2}{)}^n}\right)\right].$ 由基本不等式， $(\sqrt{2}{)}^n+\frac{16}{(\sqrt{2}{)}^n}⩾2\sqrt{16}=8,$ 等号当且仅当 $(\sqrt{2}{)}^n=\frac{16}{(\sqrt{2}{)}^n}$，即 $(\sqrt{2}{)}^n=4$，$n=4$ 时成立。 $n=4$ 为正整数，可以取到，故 $T_n$ 的最大项为 $T_4$，$n_0=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列前 $n$ 项和与数列最大项

核心方法：把 $T_n$ 化为 $(\sqrt{2}{)}^n$ 的函数，基本不等式定最值点

避坑指南：等号成立条件 $(\sqrt{2}{)}^n=4$ 恰有正整数解 $n=4$ 才能直接取；若解出的 $n$ 不是整数，必须比较相邻两项，不能直接下结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列最大项问题的两条路：作差（商）判断增减，或化为函数求最值。

结论推广：基本不等式 $t+\frac{16}{t}⩾8$ 的取等条件必须落在取值范围内。

方法推广：等比数列 $S_n$ 与 $S_{2n}$ 的线性组合化简时先提取公因子 $\frac{a_1}{q-1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-15 填-等比数列求和
• 2011-浙江卷文-17 填-数列最大项
• 2009-辽宁卷文-17 解-等比数列求和
• 2011-广东卷文-11 填-等比数列公比