2010-天津卷文-18 解-古典概型

本题导读

考查古典概型。(1) 一等品 $6$ 个，$P=\frac{3}{5}$；(2) 共 $15$ 种抽法，直径相等 $6$ 种，$P=\frac{2}{5}$。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 有编号为 $A_1,A_2,\cdots ,A_{10}$ 的 $10$ 个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据： 编号 $A_1$～$A_{10}$ 的直径依次为 $1.51,1.49,1.49,1.51,1.49,1.51,1.47,1.46,1.53,1.47$. 其中直径在区间 $[1.48,1.52]$ 内的零件为一等品.

(1) 从上述 $10$ 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；

(2) 从一等品零件中，随机抽取 $2$ 个. ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这 $2$ 个零件直径相等的概率.

🔍【思路分析】

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1. 一等品：$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$ 共 $6$ 个，$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
2. 从 $6$ 个中抽 $2$ 个共 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 种，逐对列举。
3. 直径 $1.51$ 的 $\{A_1,A_4,A_6\}$ 内取 $2$ 个有 $3$ 种，$1.49$ 的 $\{A_2,A_3,A_5\}$ 内同理 $3$ 种。
4. $P=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{3}{5}$

(2) ①见解析（共 $15$ 种）；② $\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 直径在 $[1.48,1.52]$ 内的零件为 $A_1(1.51),A_2(1.49),A_3(1.49),A_4(1.51),A_5(1.49),A_6(1.51)$，共 $6$ 个。 故所求概率 $P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$ (2) ①从一等品 $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$ 中任取 $2$ 个，所有可能结果为： $\{A_1,A_2\},\{A_1,A_3\},\{A_1,A_4\},\{A_1,A_5\},\{A_1,A_6\},$ $\{A_2,A_3\},\{A_2,A_4\},\{A_2,A_5\},\{A_2,A_6\},\{A_3,A_4\},$ $\{A_3,A_5\},\{A_3,A_6\},\{A_4,A_5\},\{A_4,A_6\},\{A_5,A_6\}$，共 $15$ 种。 ②直径相等的情形： 直径同为 $1.51$：$\{A_1,A_4\},\{A_1,A_6\},\{A_4,A_6\}$，$3$ 种； 直径同为 $1.49$：$\{A_2,A_3\},\{A_2,A_5\},\{A_3,A_5\}$，$3$ 种。 共 $6$ 种，故 $P=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型与列举计数

核心方法：先定一等品范围，再逐对列举 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 种结果

避坑指南：列举要按字典序不重不漏；直径相等分两类（同为 $1.51$、同为 $1.49$）计数再相加，漏掉一类是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型 $P=\frac{所求事件包含的基本事件数}{基本事件总数}$。

结论推广：数据分组（$1.51$ 一组、$1.49$ 一组）后组内组合 ${\mathrm{C}}_3^2$ 求和，是列举法的代数化。

方法推广：概率题的结果要约到最简分数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-18 解-分层抽样与古典概型
• 2011-天津卷文-15 解-列举法与古典概型
• 2009-福建卷文-18 解-古典概型摸球
• 2011-广东卷文-17 解-标准差与古典概型