2009-天津卷文-18 解-分层抽样与古典概型

本题导读

概率统计解答题。(1) 按 $18:27:18=2:3:2$ 分配 $7$ 个名额得 $2,3,2$；(2) 从 $7$ 个中抽 $2$ 个共 ${\mathrm{C}}_7^2=21$ 种，不含 $A$ 区的 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种，$P=1-\frac{10}{21}=\frac{11}{21}$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 $A$，$B$，$C$ 三个区中抽取 $7$ 个工厂进行调查，已知 $A$，$B$，$C$ 区中分别有 $18$，$27$，$18$ 个工厂.

(1)求从 $A$，$B$，$C$ 区中分别抽取的工厂个数；

(2)若从抽取的 $7$ 个工厂中随机抽取 $2$ 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 $2$ 个工厂中至少有 $1$ 个来自 $A$ 区的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 抽样比 $\frac{7}{18+27+18}=\frac{1}{9}$，各区分别抽 $18\times \frac{1}{9}=2$，$27\times \frac{1}{9}=3$，$2$。
2. (2) 记 $A$ 区 $2$ 个为 $a_1,a_2$，其余 $5$ 个为 $b_1,\dots ,b_5$；总 ${\mathrm{C}}_7^2=21$。
3. 对立事件”都不是 $A$ 区”：${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种；$P=1-\frac{10}{21}=\frac{11}{21}$。

✅【答案】

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(1) $A$，$B$，$C$ 区分别抽取 $2$，$3$，$2$ 个；(2)$\frac{11}{21}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 抽样比为 $\frac{7}{18+27+18}=\frac{7}{63}=\frac{1}{9}$。 故 $A$ 区抽取 $18\times \frac{1}{9}=2$ 个，$B$ 区抽取 $27\times \frac{1}{9}=3$ 个，$C$ 区抽取 $18\times \frac{1}{9}=2$ 个。

（2） 记 $A$ 区的 $2$ 个工厂为 $a_1$，$a_2$，其余 $5$ 个工厂为 $b_1$，$b_2$，$b_3$，$b_4$，$b_5$。 从 $7$ 个工厂中随机抽取 $2$ 个，总的基本事件数为 ${\mathrm{C}}_7^2=21$。 “至少有 $1$ 个来自 $A$ 区”的对立事件是”两个都来自非 $A$ 区”，其基本事件数为 ${\mathrm{C}}_5^2=10$。 （列举：$(b_1,b_2)$，$(b_1,b_3)$，$(b_1,b_4)$，$(b_1,b_5)$，$(b_2,b_3)$，$(b_2,b_4)$，$(b_2,b_5)$，$(b_3,b_4)$，$(b_3,b_5)$，$(b_4,b_5)$，共 $10$ 个。） 故所求概率 $P=1-\frac{10}{21}=\frac{11}{21}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样与古典概型

核心方法：按层比例分配 + 对立事件计数

避坑指南：抽样比 $\frac{1}{9}$ 逐层相乘；“至少 $1$ 个来自 $A$“用对立事件 $1-\frac{{\mathrm{C}}_5^2}{{\mathrm{C}}_7^2}$，别把 ${\mathrm{C}}_5^2$ 算成 $20$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分层抽样 + 概率计算是统计解答题的固定组合。

结论推广：各层抽取数 = 层内个体数 $\times$ 抽样比。

方法推广：题目要求”用列举法”，解析中要把 $10$ 个不含 $A$ 区的样本点列全，体现过程分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-15 解-分层抽样与古典概型
• 2009-大纲卷II文-20 解-分层抽样与概率
• 2011-湖北卷文-11 填-分层抽样