2009-福建卷文-18 解-古典概型摸球

本题导读

考查古典概型。(1) 有放回摸 $3$ 次共 $2^3=8$ 种等可能结果；(2) 总分 $5$ 须恰好摸到红球 $2$ 次，共 $3$ 种，概率 $\frac{3}{8}$。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取 $3$ 次，每次摸取一个球.

(1) 试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；

(2) 若摸到红球时得 $2$ 分，摸到黑球时得 $1$ 分，求 $3$ 次摸球所得总分为 $5$ 的概率.

🔍【思路分析】

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1. (1) 有放回地摸 $3$ 次，每次有红、黑两种结果，按先后顺序记录共 $2^3=8$ 种。
2. (2) 设摸到红球 $r$ 次，总分 $2r+(3-r)=r+3$；总分为 $5$ 时 $r=2$。
3. 恰好 $2$ 红 $1$ 黑的结果有 $3$ 种，除以 $8$ 即得概率。

✅【答案】

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(1) 共 $8$ 种结果（列举见解析）；(2) 概率为 $\frac{3}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 每次摸球后都放回，且每次都有红、黑两种结果，所以按三次摸球的先后顺序记录时，共有 $2^3=8$ 种不同结果， 分别为（红，红，红）、（红，红，黑）、（红，黑，红）、（黑，红，红）、（红，黑，黑）、（黑，红，黑）、（黑，黑，红）、（黑，黑，黑）。 (2) 设三次摸球中摸到红球的次数为 $r$，则总分为 $2r+(3-r)=r+3$。 当总分为 $5$ 时，$r=2$，故有利结果为（红，红，黑）、（红，黑，红）、（黑，红，红），共 $3$ 种。 八种结果等可能，因此所求概率为 $\frac{3}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型与列举法

核心方法：有序记录 $2^3=8$ 种结果再数有利场合

避坑指南：有放回摸球按顺序记录共 $8$ 种等可能结果；总分 $5$ 即 $2$ 红 $1$ 黑，有利 $3$ 种，概率 $\frac{3}{8}$；“请列出所有结果”要求列举完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：有放回抽样按”有序”计数，样本点等可能。

结论推广：得分类问题先写总分关于红球个数的表达式再反解。

方法推广：列举时按（红/黑）字典序排布，保证不重不漏。

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