2010-天津卷文-22 解-数列通项与不等式证明

本题导读

考查数列综合。(1) $a_4=8,a_5=12,a_6=18$ 成等比；(2) $a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n^2-1}{2},& n\text{ 为奇数},\\ \frac{n^2}{2},& n\text{ 为偶数};\end{array}$ (3) $2n-T_n=\frac{3}{2}+\frac{1}{n}$（$n$ 偶）或 $\frac{3}{2}+\frac{1}{n+1}$（$n$ 奇），故 $\frac{3}{2}<2n-T_n⩽2$。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=0$，且对任意 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a_{2k-1}$，$a_{2k}$，$a_{2k+1}$ 成等差数列，其公差为 $2k$.

(1) 证明 $a_4,a_5,a_6$ 成等比数列；

(2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(3) 记 $T_n=\frac{2^2}{a_2}+\frac{3^2}{a_3}+\cdots +\frac{n^2}{a_n}$，证明 $\frac{3}{2}<2n-T_n⩽2$ ($n⩾2$).

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_2=2,a_3=4,a_4=8,a_5=12,a_6=18$，验证 $12^2=8\times 18$。
2. $a_{2k+1}-a_{2k-1}=4k$，累加得 $a_{2k+1}=2k(k+1)$，再分奇偶写通项。
3. $k$ 偶时 $\frac{k^2}{a_k}=2$；$k$ 奇（$⩾3$）时 $\frac{k^2}{a_k}=2+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}$。
4. 按 $n$ 奇偶分别求和：$n$ 偶时 $2n-T_n=\frac{3}{2}+\frac{1}{n}$；$n$ 奇时 $2n-T_n=\frac{3}{2}+\frac{1}{n+1}$，均落在 $\left(\frac{3}{2},2\right]$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 见解析

(2) $a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n^2-1}{2},& n\text{ 为奇数},\\ \frac{n^2}{2},& n\text{ 为偶数};\end{array}$ (3) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意：$a_1=0$； $k=1$：$a_1,a_2,a_3$ 成等差，公差 $2$，故 $a_2=2$，$a_3=4$； $k=2$：$a_3,a_4,a_5$ 成等差，公差 $4$，故 $a_4=8$，$a_5=12$； $k=3$：$a_5,a_6,a_7$ 成等差，公差 $6$，故 $a_6=18$。 因为 $a_5^2=144=8\times 18=a_4{a}_6$，且三者均不为 $0$， 所以 $a_4,a_5,a_6$ 成等比数列（公比 $\frac{3}{2}$）。 (2) 由 $a_{2k-1},a_{2k},a_{2k+1}$ 成等差且公差为 $2k$，得 $a_{2k+1}-a_{2k-1}=2\times 2k=4k.$ 对 $k=1,2,\cdots ,m$ 累加： $a_{2m+1}=a_1+{\sum }_{k=1}^{m}4k=2m(m+1).$ 即 $n$ 为奇数（$n=2m+1$）时 $a_n=\frac{n^2-1}{2}$。 又 $a_{2k}=a_{2k-1}+2k=\frac{(2k-1{)}^2-1}{2}+2k=2k^2$， 即 $n$ 为偶数（$n=2k$）时 $a_n=\frac{n^2}{2}$。 综上 $a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n^2-1}{2},& n\text{ 为奇数},\\ \frac{n^2}{2},& n\text{ 为偶数}.\end{array}$ (3) 由 (2)： 当 $k$ 为偶数时，$\frac{k^2}{a_k}=\frac{k^2}{k^2/2}=2$； 当 $k$ 为奇数（$k⩾3$）时， $\frac{k^2}{a_k}=\frac{2k^2}{k^2-1}=2+\frac{2}{k^2-1}=2+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}.$ ①$n$ 为偶数，设 $n=2m$ ($m⩾1$)： $T_n={\sum }_{k=2}^n\frac{k^2}{a_k}=2m+2(m-1)+{\sum }_{j=1}^{m-1}\left(\frac{1}{2j}-\frac{1}{2j+2}\right)=4m-2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2m},$ $2n-T_n=4m-\left(4m-\frac{3}{2}-\frac{1}{2m}\right)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2m}=\frac{3}{2}+\frac{1}{n}.$ 由 $n⩾2$ 得 $\frac{3}{2}<2n-T_n=\frac{3}{2}+\frac{1}{n}⩽2$。 ②$n$ 为奇数，设 $n=2m+1$ ($m⩾1$，即 $n⩾3$)： $T_n=T_{2m}+\frac{(2m+1{)}^2}{a_{2m+1}}=T_{2m}+2+\frac{1}{2m}-\frac{1}{2m+2},$ $2n-T_n=(4m+2)-\left(4m+\frac{1}{2}-\frac{1}{2m+2}\right)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2m+2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{n+1}.$ 由 $n⩾3$ 得 $\frac{3}{2}<2n-T_n=\frac{3}{2}+\frac{1}{n+1}⩽2$。 综合①②，对任意 $n⩾2$，$\frac{3}{2}<2n-T_n⩽2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段递推数列的通项与和式不等式

核心方法：奇偶分治：奇数项累加求通项，偶数项由相邻奇数项推出

避坑指南：$\frac{k^2}{a_k}$ 按 $k$ 的奇偶分别是常数 $2$ 与裂项式 $2+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}$，裂项相消时首尾的 $\frac{1}{2}$ 与 $\frac{1}{2m}$ 不要丢；最后按 $n$ 奇偶给出两个表达式再统一放缩。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇偶分段数列的标志：递推关系随下标奇偶变化，通项分段写出。

结论推广：$\frac{2k^2}{k^2-1}=2+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}$ 是”多项式除法 $+$ 裂项”的标准变形。

方法推广：和式不等式先求精确和再放缩，比直接放缩更可靠。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-20 解-等差数列交错和
• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比
• 2009-重庆卷文-21 解-递推数列放缩
• 2009-四川卷文-22 解-数列递推放缩