2023-天津卷-19 解-数列综合

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与前n项和。核心在于基本量方程组法、指数分段项数精确计数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）已知 $\{a_n\}$ 是等差数列， $a_2+a_5=16$ ， $a_5-a_3=4$ ．

（Ⅰ）求 $\{a_n\}$ 的通项公式和 $\sum _{i=2^{n-1}}^{2^n-1}{a}_i$ ；

（Ⅱ）已知 $\{b_n\}$ 为等比数列，对于任意 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ，若 $2^{k-1}\le n\le 2^k-1$ ，则 $b_k<a_n<b_{k+1}$ ．

$(i)$ 当 $k\ge 2$ 时，求证： $2^k-1<b_k<2^k+1$ ；

$(ii)$ 求 $\{b_n\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和 $T_n$ ．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（基础运算）： 利用等差数列基本量方程组求出 $a_1$ 和 $d$ 。对于求和 $\sum a_i$ ，关键是识别这是一个首项为 $a_{2^{n-1}}$ ，末项为 $a_{2^n-1}$ ，项数为 $2^{n-1}$ 的等差数列求和。

2. 第二问 (i)（不等式证明）： 根据 $n$ 的取值范围找到 $a_n$ 的最小值和最大值，再结合题目给出的 $b_k<a_n<b_{k+1}$ 建立 $b_k$ 与 $2^k\pm 1$ 的联系。

3. 第二问 (ii)（参数确定）： 利用 (i) 中得到的边界条件，通过比值 $\frac{b_{k+1}}{b_k}$ 的范围，结合 $k\to \infty$ 时的极限趋势（夹逼思想）确定公比 $q$ ，进而确定首项 $b_1$ 。

【解析】

（Ⅰ）求 $\{a_n\}$ 的通项公式和求和

设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$ ．

由 $a_5-a_3=2d=4$ ，解得 $d=2$ ．

由 $a_2+a_5=(a_1+2)+(a_1+8)=2a_1+10=16$ ，解得 $a_1=3$ ．

所以 $a_n=3+(n-1)\times 2=2n+1$ ．

对于 $\sum _{i=2^{n-1}}^{2^n-1}{a}_i$ ：

该和式共有 $(2^n-1)-2^{n-1}+1=2^{n-1}$ 项。

首项为 $a_{2^{n-1}}=2(2^{n-1})+1=2^n+1$ ．

末项为 $a_{2^n-1}=2(2^n-1)+1=2^{n+1}-1$ ．

利用等差数列求和公式：

$\sum _{i=2^{n-1}}^{2^n-1}{a}_i=\frac{2^{n-1}}{2}\left[(2^n+1)+(2^{n+1}-1)\right]=2^{n-2}(2^n+2\cdot 2^n)=2^{n-2}\cdot 3\cdot 2^n=3\cdot 2^{2n-2}=3\cdot 4^{n-1}$ ．

（Ⅱ）(i) 证明： $2^k-1<b_k<2^k+1$

当 $2^{k-1}\le n\le 2^k-1$ 时，由于 $a_n=2n+1$ 是递增数列，

故 $a_{2^{k-1}}\le a_n\le a_{2^k-1}$ ，

即 $2\cdot 2^{k-1}+1\le a_n\le 2(2^k-1)+1$ ，

得 $2^k+1\le a_n\le 2^{k+1}-1$ ．

已知 $b_k<a_n<b_{k+1}$ 对该范围内的所有 $n$ 均成立，

则 $b_k<(a_n{)}_{\min }=2^k+1$ ，且 $b_{k+1}>(a_n{)}_{\max }=2^{k+1}-1$ ．

由 $b_{k+1}>2^{k+1}-1$ 可推得 $b_k>2^k-1$ （将下标 $k+1$ 替换为 $k$ ）．

综上所述，当 $k\ge 2$ 时， $2^k-1<b_k<2^k+1$ 成立。

（Ⅱ）(ii) 求 $\{b_n\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和

设 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$ ．

由 (i) 知，当 $k\ge 2$ 时， $2^k-1<b_k<2^k+1$ 且 $2^{k+1}-1<b_{k+1}<2^{k+1}+1$ ．

则有：

$\frac{2^{k+1}-1}{2^k+1}<\frac{b_{k+1}}{b_k}<\frac{2^{k+1}+1}{2^k-1}$

即 $\frac{2(2^k+1)-3}{2^k+1}<q<\frac{2(2^k-1)+3}{2^k-1}$

化简得 $2-\frac{3}{2^k+1}<q<2+\frac{3}{2^k-1}$ ．

考虑到该不等式对一切 $k\ge 2$ 均成立，令 $k\to \infty$ ，

由夹逼定理可知 $q=2$ ．

再代入 $2^k-1<b_1\cdot 2^{k-1}<2^k+1$ ，

两边同除以 $2^{k-1}$ 得： $\frac{2^k-1}{2^{k-1}}<b_1<\frac{2^k+1}{2^{k-1}}$ ，

即 $2-\frac{1}{2^{k-1}}<b_1<2+\frac{1}{2^{k-1}}$ ．

令 $k\to \infty$ ，得 $b_1=2$ ．

所以 $\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$ ．

其前 $n$ 项和 $T_n=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2^{n+1}-2$ ．

✅【答案】

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(1) $a_n=2n+1$，$\sum _{i=2^{n-1}}^{2^n-1}{a}_i=3\cdot 4^{n-1}$

(2) (i) 证明见解析

(ii) $b_n=2^n$，$T_n=2^{n+1}-2$

✍【详细解析】

Abstract

所以𝑏1 = 2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数分段求和中项数的非直觉精确计数、全称量词不等式向局域极值端点的代数传导、利用夹逼定理对离散常数参量实施极限判定。
2. 核心方法：端点值域映射法、极限定向夹逼消元法。
3. 避坑指南：

• 第（Ⅰ）问项数数错（经典翻车点）：处理 ${\sum }_{i=2^{n-1}}^{2^n-1}{a}_i$ 时，大量考生会想当然地认为项数是 $2^n-2^{n-1}=2$ 或其他错误数值。处理这种变底数指数下标，必须死死遵循“上界 $-$ 下界 $+1$”的铁律： $(2^n-1)-2^{n-1}+1=2^{n-1}$，确保计算源头正确。
• 第（Ⅱ）(ii) 问缺乏逻辑论证直接盲猜 $q=2$：不少考生通过前几项的特殊状态感觉出 $b_n=2^n$，因而在大题中直接书写结论。高考解答题属于步骤赋分制，如果不写出利用 $b_{k+1}/b_k$ 构造夹逼不等式并求极限的过程，在阅卷体系中将会被扣除大比例的逻辑推导分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题作为2023年天津卷的数列压轴大题，其立意极其高远。命题脱离了传统的错位相减法或简单的裂项相消法，将高等数学中的**“数列极限（Sequence Limit）”与初等数列的不等式缩放进行深度仿射融合**。这种通过“无限”控制“有限”的设问策略，旨在考查考生进入高校后学习《数学分析》所必需的 $\epsilon -N$ 严谨逻辑推演潜质。
2. 结论推广： 在离散动力系统中，本题（ii）问的解题模式可抽象为一个普适的**“阶梯分段约束夹逼收敛定理”**： 设数列 $\{a_n\}=\alpha n+\beta (\alpha >0)$ 为严格递增等差数列。若存在一正项等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$，在由指数函数分置的动态区间 ${\gamma }^{k-1}⩽n⩽{\gamma }^k-1(\gamma >1,\gamma \in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 内，恒有严格的夹逼包含链 $b_k<a_n<b_{k+1}$。 通过两端的极值端点外推并作商，其关于公比 $q$ 的控制方程通式满足： $\frac{\alpha \cdot {\gamma }^k+\beta }{\alpha \cdot {\gamma }^{k-1}+\beta +\alpha }<q<\frac{\alpha \cdot {\gamma }^k+\beta +\alpha }{\alpha \cdot {\gamma }^{k-1}+\beta }$ 由于 $q$ 为常数，直接令区间膨胀阶数 $k\to \infty$，对分式两端整体除去最高阶次项 ${\gamma }^{k-1}$，由夹逼定理可直接外推出该系统的刚性不变量公比通解： $q={\lim }_{k\to \infty }\frac{\alpha \cdot {\gamma }^k}{\alpha \cdot {\gamma }^{k-1}}=\gamma$ 本题中，区间底数 $\gamma =2$，无需代数演算便可直接定死公比 $q=2$。这一推广模型打通了等差与等比数列在指数级分段下的本质映射纽带，是攻克此类高维新定义数列压轴题的终极利器。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2010-天津卷文-22 解-数列通项与不等式证明
• 2013-江西卷理-03 单-等比中项