2009-四川卷文-22 解-数列递推放缩

本题导读

考查数列综合。（1）$a_1=-\frac{1}{4}$，$a_n={\left(-\frac{1}{4}\right)}^n$，$b_n=\frac{4+{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n}{1-{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n}$；（2）$n=1$ 时 $R_1=b_1=3<4$，故不存在正整数 $k$；（3）$c_1=\frac{4}{3}$，$n⩾2$ 时 $c_n<\frac{80}{3}\cdot \frac{1}{16^n}$，$T_n<\frac{4}{3}+\frac{1}{9}=\frac{13}{9}<\frac{3}{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，对任意的正整数 $n$，都有 $a_n=5S_n+1$ 成立，记 $b_n=\frac{4+a_n}{1-a_n}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 与数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2)设数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $R_n$，是否存在正整数 $k$，使得 $R_n⩾4k$ 成立？若存在，找出一个正整数 $k$；若不存在，请说明理由；

(3)记 $c_n=b_{2n}-b_{2n-1}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），设数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，求证：对任意正整数 $n$ 都有 $T_n<\frac{3}{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $n=1$：$a_1=5a_1+1$，$a_1=-\frac{1}{4}$；$n⩾2$：$a_n-a_{n-1}=5a_n$，$a_n=-\frac{1}{4}{a}_{n-1}$，等比。
2. $a_n={\left(-\frac{1}{4}\right)}^n$，$b_n=\frac{4+{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n}{1-{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n}$。 3.（2）“对任意 $n$ 都有 $R_n⩾4k$“需 $R_1⩾4k$，而 $R_1=b_1=3<4$，正整数 $k$ 不存在。 4.（3）$b_{2n}=-1+\frac{5}{1-16^{-n}}$，$b_{2n-1}=-1+\frac{5}{1+4\times 16^{-n}}$。
3. $c_n=\frac{25\times 16^{-n}}{(1-16^{-n})(1+4\times 16^{-n})}$，$c_1=\frac{4}{3}$。
4. $n⩾2$ 时分母大于 $\frac{15}{16}$，$c_n<\frac{80}{3}\cdot 16^{-n}$，几何级数求和 $T_n<\frac{4}{3}+\frac{1}{9}<\frac{3}{2}$。

✅【答案】

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(1) $a_n={\left(-\frac{1}{4}\right)}^n$，$b_n=\frac{4+{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n}{1-{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n}$；(2)不存在；(3)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $n=1$ 时，$a_1=5a_1+1$，解得 $a_1=-\frac{1}{4}$。 当 $n⩾2$ 时，由 $a_n=5S_n+1$ 与 $a_{n-1}=5S_{n-1}+1$ 相减，得 $a_n-a_{n-1}=5a_n,\text{即}{a}_n=-\frac{1}{4}{a}_{n-1}.$ 所以 $\{a_n\}$ 是首项为 $-\frac{1}{4}$、公比为 $-\frac{1}{4}$ 的等比数列， $a_n={\left(-\frac{1}{4}\right)}^n,b_n=\frac{4+{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n}{1-{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n}.$ （2）不存在正整数 $k$ 满足条件。理由如下： 若对任意正整数 $n$ 都有 $R_n⩾4k$，则特别地 $R_1⩾4k$。 而 $R_1=b_1=\frac{4-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=3<4$，故 $k<\frac{3}{4}$，不存在满足条件的正整数 $k$。 （3）由（1），$b_n=-1+\frac{5}{1-a_n}$。于是 $b_{2n}=-1+\frac{5}{1-16^{-n}},b_{2n-1}=-1+\frac{5}{1+4\times 16^{-n}},$ $c_n=b_{2n}-b_{2n-1}=\frac{25\times 16^{-n}}{(1-16^{-n})(1+4\times 16^{-n})}.$ 当 $n=1$ 时，$c_1=\frac{25/16}{(15/16)(20/16)}=\frac{4}{3}$。 当 $n⩾2$ 时，$1-16^{-n}⩾\frac{15}{16}$ 且 $1+4\times 16^{-n}>1$，所以 $c_n<\frac{25\times 16^{-n}}{15/16}=\frac{80}{3}\times 16^{-n}.$ 因此对任意正整数 $n$， $T_n<\frac{4}{3}+\frac{80}{3}{\sum }_{k=2}^{n}16^{-k}<\frac{4}{3}+\frac{80}{3}\times \frac{16^{-2}}{1-16^{-1}}=\frac{4}{3}+\frac{1}{9}=\frac{13}{9}<\frac{3}{2}.$ 即对任意正整数 $n$ 都有 $T_n<\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由 $S_n$ 求通项与数列放缩

核心方法：作差 $a_n-a_{n-1}=5a_n$ 得等比；$c_n$ 分母放缩成等比级数

避坑指南：公比是 $-\frac{1}{4}$（负号！）；$c_1=\frac{4}{3}$ 单独算，$n⩾2$ 用 $\frac{80}{3}\cdot 16^{-n}$ 放大，$\frac{4}{3}+\frac{1}{9}=\frac{13}{9}<\frac{3}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$a_n=5S_n+1$ 型：$n=1$ 定首项，作差定递推。

结论推广：（2）“对任意 $n$ 成立”的否定只需一个反例：$n=1$ 时 $R_1=3<4$。

方法推广：（3）放缩目标 $\frac{3}{2}$：保留首项精确值，余项几何级数求和，是”分段放缩”的典型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-21 解-递推数列放缩
• 2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项
• 2012-四川卷文-20 解-由前n项和求通项与最值
• 2011-天津卷文-20 解-奇偶递推数列与放缩