2010-天津卷理-02 单-指数

本题导读

本题考查连续函数零点的区间判定，通过检验区间端点的函数值符号得出结论。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 函数 $f(x)=2^x+3x$ 的零点所在的一个区间是()

A. $(-2,-1)$　　　　B. $(-1,0)$　　　　C. $(0,1)$　　　　D. $(1,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确认 $f(x)=2^x+3x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增且图象连续。
2. 计算各选项区间端点的函数值 $f(x)$，寻找满足 $f(a)\cdot f(b)<0$ 的区间。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $y=2^x$ 和 $y=3x$ 在 $\mathbb{R}$ 上均单调递增，所以 $f(x)=2^x+3x$ 在 $\mathbb{R}$ 上是连续的严格单调递增函数。

依次计算各点函数值：

• $f(-2)=2^{-2}+3(-2)=\frac{1}{4}-6=-\frac{23}{4}<0$
• $f(-1)=2^{-1}+3(-1)=\frac{1}{2}-3=-\frac{5}{2}<0$
• $f(0)=2^0+3(0)=1>0$
• $f(1)=2^1+3(1)=5>0$

因为 $f(-1)<0$ 且 $f(0)>0$，满足 $f(-1)\cdot f(0)<0$，所以零点落在区间 $(-1,0)$ 内。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：零点存在定理（若 $f(x)$ 连续且 $f(a)\cdot f(b)<0$，则在 $(a,b)$ 内必有零点）。
2. 核心方法：带入区间端点直接计算，判断符号改变点。
3. 避坑指南：注意 $2^0=1$ 而非 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础超越方程根的区间估计。
2. 结论推广：单调函数的零点若存在，则必然唯一。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数
• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值