2010-天津卷理-17 解-三角恒等

本题导读

本题考查三角恒等变换（降幂与辅助角公式）化简三角函数，进而求解函数的最小正周期、闭区间上的最值，以及根据给定函数值求解特定角的值。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 17. 已知函数 $f(x)=2\sqrt{3}\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x-1(x\in \mathbb{R})$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期及在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值和最小值；

(2) 若 $f(x_0)=\frac{6}{5}$，$x_0\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$，求 $\cos 2x_0$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：

• 利用二倍角正弦公式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$ 和余弦二倍角/降幂公式 $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$，将 $f(x)$ 化简为 $\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$；
• 利用辅助角公式化简为 $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$；
• 由 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$ 求周期；
• 由 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]⟹2x+\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]$ 求出最大值与最小值。

2. 第 (2) 问：

• 由 $f(x_0)=2\sin \left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{6}{5}⟹\sin \left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3}{5}$；
• 由 $x_0\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]⟹2x_0+\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6}\right]$ 确定角所在的象限，求出 $\cos \left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)$；
• 利用 $\cos 2x_0=\cos \left[\left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{6}\right]$ 展开计算。

✅【答案】

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（1）由二倍角公式，𝑓(𝑥)=√3sin2𝑥+cos2𝑥=2sin(2𝑥+π6)因此函数的最小正周期为π.

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简函数 $f(x)$ 的表达式 已知 $f(x)=2\sqrt{3}\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x-1$。 利用二倍角公式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$ 及 $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$： $f(x)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$

利用辅助角公式 $A\sin (\omega x+\phi )$： $f(x)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$

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(1) 求最小正周期及在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最值

• 求最小正周期 $T$： $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$

• 求在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最值： 因为 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，所以： $2x\in [0,\pi ]⟹2x+\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]$

根据正弦函数的性质：

• 当 $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}⟹x=\frac{\pi }{6}$ 时，$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值 $1$，此时 $f(x{)}_{\max }=2\times 1=2$；
• 当 $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}⟹x=\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最小值 $-\frac{1}{2}$，此时 $f(x{)}_{\min }=2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$。

故 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$，在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值为 $2$，最小值为 $-1$。

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(2) 求 $\cos 2x_0$ 的值

已知 $f(x_0)=\frac{6}{5}$，代入化简后的解析式： $2\sin \left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{6}{5}⟹\sin \left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3}{5}$

确定角 $2x_0+\frac{\pi }{6}$ 的取值范围： 因为 $x_0\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$，所以： $2x_0\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]⟹2x_0+\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6}\right]$

在区间 $\left[\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6}\right]$ 上，$\sin \left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3}{5}>0$，说明角在第二象限： $\cos \left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)=-\sqrt{1-{\sin }^2\left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)}=-\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=-\frac{4}{5}$

利用角代换 $\cos 2x_0=\cos \left[\left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{6}\right]$，由两角差的余弦公式展开： $\cos 2x_0=\cos \left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)\cos \frac{\pi }{6}+\sin \left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)\sin \frac{\pi }{6}$ $\cos 2x_0=\left(-\frac{4}{5}\right)\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$

答：$\cos 2x_0$ 的值为 $\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $A\sin (\omega x+\phi )$、闭区间最值求解、两角差余弦公式展开与角范围判定。
2. 核心方法：

• 降幂与倍角公式化简 $\to$ 整体代换求最值；
• 角变换技巧：$2x_0=\left(2x_0+\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{6}$。

3. 避坑指南：第 (2) 问中求余弦值时必须精准判定角 $2x_0+\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{2\pi }{3},\pi \right)$ 为第二象限角，切勿漏看负号导致余弦误算为 $+\frac{4}{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考天津卷三角函数解答题第 17 题经典题型。
2. 结论推广：对形如 $f(x)=a\sin 2x+b\cos 2x+c$，其周期恒为 $\pi$，最值落在区间 $[c-\sqrt{a^2+b^2},c+\sqrt{a^2+b^2}]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数