2010-天津卷理-20 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆标准方程的求法及直线与椭圆相交的综合性质，需注意直线斜率 $k=0$ 与 $k\ne 0$ 的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 20. 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 $4$.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A,B$. 已知点 $A$ 的坐标为 $(-a,0)$，点 $Q(0,y_0)$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，且 $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=4$. 求 $y_0$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹b^2=\frac{1}{4}{a}^2⟹a=2b$，结合菱形面积 $S=\frac{1}{2}\times 2a\times 2b=2ab=4$ 列方程组求出 $a,b$ 的值。
2. 第 (2) 问：已知 $A(-2,0)$，设直线 $AB$ 的斜率为 $k$。

• 当 $k=0$ 时：$B(2,0)$，线段 $AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴（$x=0$），代入 $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=4$ 求解 $y_0$；
• 当 $k\ne 0$ 时：联立直线方程与椭圆方程求出点 $B$ 的坐标及中点 $M$ 的坐标，写出线段 $AB$ 的垂直平分线方程并令 $x=0$ 用 $k$ 表示出 $y_0$，代入 $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=4$ 列方程求出 $k^2$ 及对应的 $y_0$。

✅【答案】

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（1）设椭圆的半焦距为𝑐，则𝑒=𝑐𝑎=√32，𝑐2=𝑎2−𝑏2.从而𝑏2=𝑎2−𝑐2=𝑎2

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求椭圆的方程

由已知 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得： $\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{3}{4}⟹b^2=\frac{1}{4}{a}^2⟹a=2b$

连接椭圆四个顶点构成的菱形面积为： $S=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2b=2ab=4$

将 $a=2b$ 代入得： $2(2b)\cdot b=4⟹4b^2=4⟹b^2=1$

解得 $b=1$（因为 $b>0$），则 $a=2$，故 $a^2=4$.

所以椭圆的方程为： $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

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(2) 求 $y_0$ 的值

由 (1) 得 $a=2$，所以点 $A$ 的坐标为 $A(-2,0)$. 设直线 $AB$ 的方程为 $y=k(x+2)$，点 $B(x_1,y_1)$（其中 $x_1\ne -2$）.

联立直线与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=k(x+2)\\ x^2+4y^2=4\end{array}$

代入得： $x^2+4k^2(x+2{)}^2=4⟹(x+2)(x-2)+4k^2(x+2{)}^2=0$

因为 $x\ne -2$，两边同除以 $x+2$： $(x-2)+4k^2(x+2)=0⟹(1+4k^2)x=2-8k^2$

解得点 $B$ 的坐标为： $x_1=\frac{2-8k^2}{1+4k^2},y_1=k(x_1+2)=\frac{4k}{1+4k^2}$

则线段 $AB$ 的中点 $M(x_M,y_M)$ 的坐标为： $x_M=\frac{-2+x_1}{2}=\frac{-8k^2}{1+4k^2},y_M=\frac{0+y_1}{2}=\frac{2k}{1+4k^2}$

下面对 $k$ 进行分类讨论：

• 情形 1：当 $k=0$ 时 此时点 $B$ 坐标为 $(2,0)$，线段 $AB$ 的中点为 $(0,0)$，线段 $AB$ 的垂直平分线即为 $y$ 轴（$x=0$）. 对于 $Q(0,y_0)$，有 $\overrightarrow{QA}=(-2,-y_0)$，$\overrightarrow{QB}=(2,-y_0)$. $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=(-2)\times 2+(-y_0)\times (-y_0)=-4+y_0^2$ 由 $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=4$ 得： $-4+y_0^2=4⟹y_0^2=8⟹y_0=\pm 2\sqrt{2}$

• 情形 2：当 $k\ne 0$ 时 线段 $AB$ 的垂直平分线斜率为 $-\frac{1}{k}$，方程为： $y-y_M=-\frac{1}{k}(x-x_M)$

将点 $Q(0,y_0)$ 代入垂直平分线方程： $y_0-\frac{2k}{1+4k^2}=-\frac{1}{k}\left(0-\frac{-8k^2}{1+4k^2}\right)⟹y_0-\frac{2k}{1+4k^2}=-\frac{8k}{1+4k^2}$ 解得： $y_0=\frac{-6k}{1+4k^2}$

计算向量： $\overrightarrow{QA}=(-2,-y_0),\overrightarrow{QB}=(x_1,y_1-y_0)$ 其中 $y_1-y_0=\frac{4k}{1+4k^2}-\frac{-6k}{1+4k^2}=\frac{10k}{1+4k^2}$.

计算数量积： $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=-2x_1-y_0(y_1-y_0)$ 代入各表达式： $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=-2\left(\frac{2-8k^2}{1+4k^2}\right)-\left(\frac{-6k}{1+4k^2}\right)\left(\frac{10k}{1+4k^2}\right)=\frac{-4+16k^2}{1+4k^2}+\frac{60k^2}{(1+4k^2{)}^2}$

由 $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=4$ 得： $\frac{-4+16k^2}{1+4k^2}+\frac{60k^2}{(1+4k^2{)}^2}=4$

两边同乘以 $(1+4k^2{)}^2$： $(-4+16k^2)(1+4k^2)+60k^2=4(1+4k^2{)}^2$ $-4+64k^4+60k^2=4(1+8k^2+16k^4)$ $64k^4+60k^2-4=64k^4+32k^2+4$ $28k^2=8⟹k^2=\frac{2}{7}$

将 $k^2=\frac{2}{7}$ 代入 $y_0^2$ 的表达式： $y_0^2=\frac{36k^2}{(1+4k^2{)}^2}=\frac{36\times \frac{2}{7}}{{\left(1+4\times \frac{2}{7}\right)}^2}=\frac{\frac{72}{7}}{{\left(\frac{15}{7}\right)}^2}=\frac{72\times 7}{225}=\frac{504}{225}=\frac{56}{25}$

解得： $y_0=\pm \frac{\sqrt{56}}{5}=\pm \frac{2\sqrt{14}}{5}$

综合情形 1 与情形 2，$y_0$ 的值为 $\pm 2\sqrt{2}$ 或 $\pm \frac{2\sqrt{14}}{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆标准方程、点坐标代入消元、中点坐标与垂直平分线方程、向量坐标数量积。
2. 核心方法：斜率分类讨论 $\to$ 韦达定理/点坐标代换 $\to$ 线段中垂线列方程 $\to$ 向量数量积列方程。
3. 避坑指南：

• 当 $k=0$ 时，中垂线方程中无斜率（为 $y$ 轴），不能直接代入 $y_0=\frac{-6k}{1+4k^2}$，必须独立讨论；
• 求解 $y_0^2=\frac{56}{25}$ 时化简根式为 $\pm \frac{2\sqrt{14}}{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解析几何大题中经典动直线与椭圆相交及垂直平分线应用题。
2. 结论推广：过椭圆顶点 $A(-a,0)$ 的动割线 $AB$，其中点轨迹为以 $A$ 为顶点的相似椭圆的一部分。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量
• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比