2010-安徽卷文-07 单-指数幂比较大小

本题导读

考查指数幂比较。${\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{3}{5}}<{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}$（同底递减），${\left(\frac{3}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}$（同指比底），$a>c>b$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(文)） 设 $a={\left(\frac{3}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}$，$b={\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{3}{5}}$，$c={\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系是()

A. $a>c>b$　　　　　B. $a>b>c$　　　　　C. $c>a>b$　　　　　D. $b>c>a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $b$ 与 $c$ 同底 $\frac{2}{5}\in (0,1)$，指数 $\frac{3}{5}>\frac{2}{5}$，递减，故 $b<c$。
2. $a$ 与 $c$ 同指数 $\frac{2}{5}>0$，底数 $\frac{3}{5}>\frac{2}{5}$，递增，故 $a>c$。
3. 合起来 $a>c>b$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $0<\frac{2}{5}<1$，指数函数 $y={\left(\frac{2}{5}\right)}^x$ 随指数增大而减小， 而 $\frac{3}{5}>\frac{2}{5}$，所以 $b={\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{3}{5}}<{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}=c.$ 又因为指数 $\frac{2}{5}>0$，幂函数 $y=x^{\frac{2}{5}}$ 在 $(0,+\infty )$ 上递增，底数 $\frac{3}{5}>\frac{2}{5}$，故 $a={\left(\frac{3}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}=c.$ 因此 $a>c>b$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数幂与幂函数比较大小

核心方法：同底用指数函数单调性，同指用幂函数单调性，中间量 ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}$ 搭桥

避坑指南：底 $\frac{2}{5}\in (0,1)$ 时指数越大值越小；同指数比底数时才是”底大值大”，两类单调性不要混用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：比较大小题的通用策略：找中间量，分别用同底、同指两个通道。

结论推广：${\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}$ 恰是 $a$、$b$ 的公共”参照点”。

方法推广：写清所依据的函数及其单调区间，避免口头化”一眼看更大”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-05 单-指对数比较大小
• 2012-浙江卷文-10 单-指数函数单调性比较
• 2011-安徽卷文-10 单-函数图象定指数
• 2009-江苏卷-10 填-指数函数单调性