2010-安徽卷文-18 解-频率分布表与直方图

本题导读

考查频率分布。七组频数 $2,1,3,7,10,5,2$；良占 $\frac{13}{15}$，该市空气质量以良为主。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(文)） 某市 $2010$ 年 $4$ 月 $1$ 日—$4$ 月 $30$ 日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）： $61$，$76$，$70$，$56$，$81$，$91$，$92$，$91$，$75$，$81$，$88$，$67$，$101$，$103$，$95$，$91$，$77$，$86$，$81$，$83$，$82$，$82$，$64$，$79$，$86$，$85$，$75$，$71$，$49$，$45$.

(1) 完成频率分布表；

(2) 作出频率分布直方图；

(3) 根据国家标准，污染指数在 $0\sim 50$ 之间时，空气质量为优；在 $51\sim 100$ 之间时，为良；在 $101\sim 150$ 之间时，为轻微污染；在 $151\sim 200$ 之间时，为轻度污染. 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 按组距 $10$ 分组 $[40,50)$，$[50,60)$，…，$[100,110)$，逐组数频数：$2,1,3,7,10,5,2$，合计 $30$。
2. 频率 = 频数/30；直方图矩形高 = 频率/组距：$\frac{1}{150}$，$\frac{1}{300}$，$\frac{1}{100}$，$\frac{7}{300}$，$\frac{1}{30}$，$\frac{1}{60}$，$\frac{1}{150}$。
3. 优：$[40,50)$ 内 $45$，$49$ 两天；良：$[50,100)$ 内 $26$ 天；轻微污染：$[100,110)$ 内 $101$，$103$ 两天；轻度污染 $0$ 天。
4. 良占 $\frac{26}{30}=\frac{13}{15}$，以良为主。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 频数依次为 $2,1,3,7,10,5,2$

(2) 各矩形高依次为 $\frac{1}{150},\frac{1}{300},\frac{1}{100},\frac{7}{300},\frac{1}{30},\frac{1}{60},\frac{1}{150}$

(3) 该市空气质量以良为主，整体基本良好，仍有少数天为轻微污染

✍【详细解析】

Abstract

(1) 将 $30$ 个数据按组距为 $10$ 分成 $[40,50)$，$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100)$，$[100,110)$ 七组，统计各组频数并除以 $30$，得频率分布表：

分组	频数	频率
$[40,50)$	$2$	$\frac{1}{15}$
$[50,60)$	$1$	$\frac{1}{30}$
$[60,70)$	$3$	$\frac{1}{10}$
$[70,80)$	$7$	$\frac{7}{30}$
$[80,90)$	$10$	$\frac{1}{3}$
$[90,100)$	$5$	$\frac{1}{6}$
$[100,110)$	$2$	$\frac{1}{15}$
合计	$30$	$1$

(2) 以各组区间为横轴、以频率/组距为纵轴作频率分布直方图. 各组组距均为 $10$，七个矩形的高依次为 $\frac{1}{150},\frac{1}{300},\frac{1}{100},\frac{7}{300},\frac{1}{30},\frac{1}{60},\frac{1}{150}.$ (3) 在 $0\sim 50$ 内的数据有 $45$，$49$，共 $2$ 天，所占比例为 $\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$；在 $51\sim 100$ 内的数据有 $26$ 天，所占比例为 $\frac{26}{30}=\frac{13}{15}$；在 $101\sim 150$ 内的数据有 $2$ 天，所占比例为 $\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$；没有数据落在 $151\sim 200$ 内. 因此该市空气质量以良为主，整体基本良好，但仍有少数天达到轻微污染水平.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率分布表与直方图

核心方法：按组距 $10$ 分七组数频数，频率 = 频数/样本量，矩形高 = 频率/组距

避坑指南：七组频数 $2,1,3,7,10,5,2$ 合计必须是 $30$；直方图纵轴是频率/组距，直接填频率是高频错误；评价要对照题目给的四档标准逐档说明。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统计解答题的完整链条：列表、作图、依标准评价。

结论推广：频率分布表是直方图的数据基础，两问共用同一组频数。

方法推广：开放性评价要有数据支撑：优 $2$ 天、良 $26$ 天、轻微污染 $2$ 天，比例落到分数上。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-19 解-分层抽样与频率分布
• 2012-安徽卷文-18 解-频率分布表与总体估计
• 2011-福建卷文-19 解-频率分布表与古典概型
• 2011-湖南卷文-18 解-频率分布与概率