2010-安徽卷理-04 单-函数

本题导读

本题考查抽象函数的基本性质。核心考查意图在于利用函数的周期性实现自变量的大角化小，并结合奇偶性将对称区间的函数值进行归一化计算。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 若 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上周期为 5 的奇函数，且满足 $f(1)=1,f(2)=2$，则 $f(3)-f(4)=$ ()

A. $-1$　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $-2$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用周期性将自变量变到已知区间内：$f(3)=f(3-5)=f(-2)$， $f(4)=f(4-5)=f(-1)$。

2. 利用奇函数性质将负自变量转化为正自变量表达式：$f(-2)=-f(2)$， $f(-1)=-f(1)$，代入给定数值完成求值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 的周期为 5， 所以： $f(3)=f(3-5)=f(-2)$ $f(4)=f(4-5)=f(-1)$ 又因为 $f(x)$ 是奇函数，且 $f(1)=1,f(2)=2$， 所以： $f(3)=f(-2)=-f(2)=-2$ $f(4)=f(-1)=-f(1)=-1$ 则： $f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数周期性公式 $f(x+T)=f(x)$ 形式应用、奇函数定义式 $f(-x)=-f(x)$。

2. 核心方法：变量向基准区间平移对齐法。

3. 避坑指南：减法运算中负号的层叠处理需细心，如 $f(3)-f(4)=-2-(-1)$，容易由于看错括号错算为 $-3$ 或 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中关于函数性质（奇偶性、周期性、单调性）交汇的经典基础解答题或选择压轴变式。

2. 结论推广: 若函数 $f(x)$ 为周期为 $T$ 的奇函数，则恒有 $f(T-x)=f(-x)=-f(x)$。本题中 $f(3)=f(5-2)=-f(2)=-2$， $f(4)=f(5-1)=-f(1)=-1$，可以直接利用此对称结论加速。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性