2010-安徽卷理-17 解-导数

本题导读

本题主要考查导数在研究函数单调性、极值以及证明不等式中的核心应用。第二问通过第一问结论的逻辑递进，利用构造函数法将不等式证明转化为新函数的单调性判定。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 设 $a$ 为实数，函数 $f(x)={\mathrm{e}}^x-2x+2a,x\in \mathbf{R}$．

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间与极值；

(2) 求证：当 $a>\ln 2-1$ 且 $x>0$ 时，${\mathrm{e}}^x>x^2-2ax+1$．

🔍【思路分析】

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1. 第一问通过对 $f(x)$ 求导，寻找导数零点，分析导数符号在零点两侧的变化，确定函数的单调区间和极值点。

2. 第二问通过移项构造新函数 $g(x)={\mathrm{e}}^x-x^2+2ax-1$，对其求导可以发现 $g^{\prime }(x)$ 恰好等于 $f(x)$。

3. 利用第一问中 $f(x)$ 的最小值，结合已知条件 $a>\ln 2-1$ 证明 $g^{\prime }(x)>0$ 恒成立，从而利用 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上的单调递增性质证明不等式。

✅【答案】

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𝑓(𝑥)在(−∞,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，极小值为2(1−ln2+𝑎)，无极大值；当𝑎>ln2−1且𝑥>0时，不等式成立.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 对函数 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-2$ 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x=\ln 2$．

• 当 $x\in (-\infty ,\ln 2)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (\ln 2,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增． 所以，$f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty ,\ln 2)$，单调递增区间为 $(\ln 2,+\infty )$． 当 $x=\ln 2$ 时，$f(x)$ 取得极小值，极小值为： $f(\ln 2)={\mathrm{e}}^{\ln 2}-2\ln 2+2a=2-2\ln 2+2a$ 该函数无极大值．

(2) 证明：构造函数 $g(x)={\mathrm{e}}^x-x^2+2ax-1$ ($x\in \mathbf{R}$)． 对 $g(x)$ 求导得： $g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-2x+2a$ 由此可见 $g^{\prime }(x)=f(x)$． 由(1)可知， $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上的最小值为 $f(\ln 2)=2-2\ln 2+2a$． 因为 $a>\ln 2-1$，所以 $2a>2\ln 2-2$， 从而有： $g^{\prime }(x)=f(x)⩾f(\ln 2)=2-2\ln 2+2a>0$ 即在 $\mathbf{R}$ 上 $g^{\prime }(x)>0$ 恒成立，所以函数 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增． 当 $x>0$ 时，有 $g(x)>g(0)$． 又因为 $g(0)={\mathrm{e}}^0-0^2+2a\times 0-1=1-1=0$， 所以当 $x>0$ 时，$g(x)>0$，即 ${\mathrm{e}}^x-x^2+2ax-1>0$． 故原不等式 ${\mathrm{e}}^x>x^2-2ax+1$ 成立．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用导数求单调区间与极值，构造函数法证明不等式。

2. 核心方法：前问为后问铺垫的“双层求导法”（即新函数的一阶导数等于原函数）。

3. 避坑指南：第(1)问结论中的区间应写成开区间形式；第(2)问在利用 $g(x)$ 单调性时，切勿漏掉代入端点值 $g(0)=0$ 的步骤，否则无法形成完整的逻辑链条。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题属于经典的指数型函数压轴题简化版，考查了高等数学中泰勒公式展开式（${\mathrm{e}}^x>1+x+\frac{1}{2}{x}^2$）背景下的不等式放缩变形。

5. 结论推广: 若已知条件不变，该题可进一步推广为：当 $a>\ln 2-1$ 时，对任意 $x_1,x_2\in (0,+\infty )$ 且 $x_1\ne x_2$，恒有 $\frac{{\mathrm{e}}^{x_1}-{\mathrm{e}}^{x_2}}{x_1-x_2}>(x_1+x_2)-2a$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式