2010-山东卷文-18 解-等差数列通项与裂项

本题导读

考查等差数列与裂项。$a_n=2n+1$，$S_n=n(n+2)$；$b_n=\frac{1}{(2n+1{)}^2-1}=\frac{1}{4n(n+1)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$，$T_n=\frac{n}{4(n+1)}$。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_3=7$，$a_5+a_7=26$. 数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.

(1) 求 $a_n$ 及 $S_n$；

(2) 令 $b_n=\frac{1}{a_n^2-1}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设首项 $a_1$、公差 $d$：$a_1+2d=7$，$(a_1+4d)+(a_1+6d)=26$。
2. 第二式即 $2a_1+10d=26\Rightarrow a_1+5d=13$，与 $a_1+2d=7$ 相减得 $3d=6$，$d=2$，$a_1=3$。
3. $a_n=3+2(n-1)=2n+1$，$S_n=\frac{n(3+2n+1)}{2}=n(n+2)$。
4. $b_n=\frac{1}{(2n+1{)}^2-1}=\frac{1}{4n^2+4n}=\frac{1}{4n(n+1)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。
5. $T_n=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{n}{4(n+1)}$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2n+1$，$S_n=n(n+2)$

(2) $T_n=\frac{n}{4(n+1)}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$，则

(a_1+4d)+(a_1+6d)=26,\end{cases}\quad\text{即}\quad\begin{cases}a_1+2d=7, a_1+5d=13.\end{cases}$$ 两式相减得 $3d=6$，故 $d=2$，进而 $a_1=3$. 所以 $$a_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1.$$ 前 $n$ 项和 $$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2=\frac{n(3+2n+1)}2=n(n+2).$$ (2) 由 $a_n=2n+1$，得 $$b_n=\frac1{a_n^2-1}=\frac1{(2n+1)^2-1}=\frac1{4n^2+4n}=\frac1{4n(n+1)}=\frac14\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right).$$ 于是 $$T_n=\sum_{k=1}^n b_k=\frac14\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=\frac14\left(1-\frac1{n+1}\right)=\frac n{4(n+1)}.$$ 故数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n=\dfrac n{4(n+1)}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列通项与裂项求和

核心方法：(1) 列方程求 $a_1,d$；(2) $b_n=\frac{1}{(2n+1{)}^2-1}$ 裂为 $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$

避坑指南：$a_5+a_7=26$ 化为 $2a_1+10d=26$ 即 $a_1+5d=13$，与 $a_1+2d=7$ 相减得 $d=2$；裂项后各项相消，只剩首尾。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差通项加裂项求和是文科数列大题的固定组合。

结论推广：$a_n=2n+1$ 时 $a_n^2-1=4n(n+1)$，$\frac{1}{4n(n+1)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$ 裂项相消得 $T_n=\frac{n}{4(n+1)}$。

方法推广：裂项求和的通用步骤：先把分母因式分解成相邻（或相隔）两式，再拆成差，最后相消取首尾。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和
• 2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和
• 2012-山东卷文-20 解-等差数列与等比数列求和
• 2013-山东卷文-20 解-等差数列错位相减