2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和

本题导读

本题考查等差数列的通项公式。核心在于方程组法求与、裂项相消的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_7=4$，$a_{19}=2a_9$.

(1)求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)设 $b_n=\frac{1}{n{a}_n}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $a_1$、$d$：$a_1+6d=4$，$a_1+18d=2(a_1+8d)$，解得 $d=\frac{1}{2}$，$a_1=1$。
2. $a_n=\frac{n+1}{2}$，故 $b_n=\frac{2}{n(n+1)}=2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。
3. 相消得 $S_n=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2n}{n+1}$。

✅【答案】

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(1) $a_n=\frac{n+1}{2}$；(2) $S_n=\frac{2n}{n+1}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设首项为 $a_1$，公差为 $d$。由 $a_7=a_1+6d=4$；由 $a_{19}=2a_9$ 得 $a_1+18d=2(a_1+8d)⟹a_1=2d.$ 代入第一式：$8d=4$，即 $d=\frac{1}{2}$，$a_1=1$。所以 $a_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}.$ (2) 由 (1)， $b_n=\frac{1}{n{a}_n}=\frac{1}{n\cdot \frac{n+1}{2}}=\frac{2}{n(n+1)}=2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).$ 于是 $S_n=2\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2n}{n+1}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的通项与裂项求和

核心方法：由 $a_7=4$、$a_{19}=2a_9$ 解出 $d$，$b_n=\frac{2}{n(n+1)}$ 裂项相消

避坑指南：$b_n=\frac{1}{n{a}_n}$ 先代通项再裂项：$\frac{2}{n(n+1)}=2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$——漏掉因子 $2$ 或相消时首尾项数错是常见丢分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列与裂项相消求和（全国卷必考）。

结论推广：等差通项 $a_n=a_1+(n-1)d$；裂项 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。

方法推广：数列解答题三板斧：列方程组求首项与公差 → 代入 $b_n$ 化成可裂项的形式 → 相消求和并核对首尾项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-17 解-递推数列通项
• 2014-大纲卷理-18 解-等差数列通项