2013-山东卷文-20 解-等差数列错位相减

本题导读

本题考查等差数列的通项公式。核心在于恒等式比较系数、错位相减求和的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_4=4S_2$，$a_{2n}=2a_n+1$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式;

(2)若数列 $\{b_n\}$ 满足 $\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\cdots +\frac{b_n}{a_n}=1-\frac{1}{2^n}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，求 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $4a_1+6d=4(2a_1+d)$ → $d=2a_1$；$a_1+(2n-1)d=2[a_1+(n-1)d]+1$ → $d=a_1+1$。
2. 解得 $a_1=1$，$d=2$，$a_n=2n-1$。
3. $n⩾2$：$\frac{b_n}{a_n}=\left(1-\frac{1}{2^n}\right)-\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=\frac{1}{2^n}$，$n=1$ 也成立 → $b_n=\frac{2n-1}{2^n}$。
4. 错位相减：$T_n=3-\frac{2n+3}{2^n}$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2n-1$；(2) $T_n=3-\frac{2n+3}{2^n}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列的公差为 $d$。由 $S_4=4S_2$： $4a_1+6d=4(2a_1+d)⟹4a_1+6d=8a_1+4d⟹d=2a_1.$ 由 $a_{2n}=2a_n+1$ 对一切 $n$ 成立： $a_1+(2n-1)d=2\left[a_1+(n-1)d\right]+1⟹a_1+(2n-1)d=2a_1+2nd-2d+1.$ 比较（展开左边 $a_1+2nd-d$）： $a_1-d=2a_1-2d+1⟹d=a_1+1.$ 联立 $d=2a_1$ 与 $d=a_1+1$，解得 $a_1=1$，$d=2$。故 $a_n=2n-1.$ (2) 当 $n⩾2$ 时， $\frac{b_n}{a_n}=\left(1-\frac{1}{2^n}\right)-\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^n},$ $n=1$ 时 $\frac{b_1}{a_1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ 也满足，故 $b_n=\frac{2n-1}{2^n}$。 错位相减： $T_n=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots +\frac{2n-1}{2^n},$ $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{2n-3}{2^n}+\frac{2n-1}{2^{n+1}}.$ 两式相减： $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{1}{2}+2\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^n}\right)-\frac{2n-1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}+2\cdot \frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}.$ 即 $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{4}{2^n}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{8+2n-1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{2n+7}{2^{n+1}}.$ 所以 $T_n=3-\frac{2n+3}{2^n}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量与错位相减

核心方法：$S_4=4S_2$、$a_{2n}=2a_n+1$ → $d=2a_1$ 且 $d=a_1+1$ → $a_1=1$、$d=2$、$a_n=2n-1$；$b_n=\frac{2n-1}{2^n}$，错位相减 $T_n=3-\frac{2n+3}{2^n}$

避坑指南：$a_{2n}=2a_n+1$ 是对一切 $n$ 成立的恒等式：代入通项比较系数（含常数项 $-d$ 与 $+1$）别漏项；$b_n=\frac{2n-1}{2^n}$ 是”等差 × 等比”标准结构——错位相减后验 $n=1$：$T_1=\frac{1}{2}=3-\frac{5}{2}$ ✓。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列的通项与错位相减求和（全国卷必考解答题）。

结论推广：等差：$a_n=a_1+(n-1)d$，$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$；$\sum _{k=1}^n\frac{2k-1}{2^k}=3-\frac{2n+3}{2^n}$（错位相减）。

方法推广：两路：恒等式比较系数定基本量 → “等差 × 等比”型数列用错位相减，作差后分两段（等比和 + 尾项）求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-17 解-等差数列裂项求和
• 2014-北京卷文-15 解-数列通项求和