2010-山东卷文-19 解-古典概型

本题导读

考查古典概型。(1) 编号和不大于 $4$ 的取法 $\{1,2\}$、$\{1,3\}$ 共 $2$ 种，$P=\frac{2}{{\mathrm{C}}_4^2}=\frac{1}{3}$；(2) $16$ 个有序对中满足 $n<m+2$ 的有 $13$ 个，$P=\frac{13}{16}$。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 $1,2,3,4$.

(1) 从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 $4$ 的概率；

(2) 先从袋中随机取一个球，该球的编号为 $m$，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 $n$，求 $n<m+2$ 的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 从 $4$ 球中取 $2$ 个，共 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种等可能取法。
2. 编号和不大于 $4$（即 $⩽4$）的取法：$\{1,2\}$（和 $3$）、$\{1,3\}$（和 $4$），共 $2$ 种。
3. $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
4. (2) 放回抽取，$m,n$ 各有 $4$ 种，共 $16$ 个等可能有序数对。
5. 逐 $m$ 数满足 $n<m+2$ 的 $n$：$m=1$ 时 $n=1,2$（$2$ 个）；$m=2$ 时 $n=1,2,3$（$3$ 个）；$m=3$ 时 $n=1,2,3,4$（$4$ 个）；$m=4$ 时 $n=1,2,3,4$（$4$ 个）。
6. 共 $2+3+4+4=13$ 个，$P=\frac{13}{16}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{13}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 从 $4$ 个球中任取 $2$ 个，共有 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种等可能的取法. 编号之和不大于 $4$ 的取法有 $\{1,2\}$（和为 $3$）和 $\{1,3\}$（和为 $4$），共 $2$ 种， 故所求概率为 $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$ (2) 取球后放回，$m,n$ 均可取 $1,2,3,4$，共 $4\times 4=16$ 个等可能的有序数对. 当 $m=1$ 时，满足 $n<m+2=3$ 的 $n$ 有 $1,2$，共 $2$ 个； 当 $m=2$ 时，$n<4$，有 $1,2,3$，共 $3$ 个； 当 $m=3$ 时，$n<5$，有 $1,2,3,4$，共 $4$ 个； 当 $m=4$ 时，$n<6$，有 $1,2,3,4$，共 $4$ 个. 故满足 $n<m+2$ 的有序数对共有 $2+3+4+4=13$ 个， 所求概率为 $P=\frac{13}{16}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的概率计算

核心方法：(1) 列举编号和 $⩽4$ 的组合；(2) 放回抽取列 $m,n$ 有序对满足 $n<m+2$

避坑指南：(1) 是”取两个”无放回，$\{1,3\}$ 也满足（和 $4$），别漏；(2) 放回抽取是 $16$ 个有序对，$m=3,4$ 时 $n<m+2$ 恒成立，各 $4$ 个。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型核心是”数基本事件”：先定样本空间，再数有利事件。

结论推广：放回与不放回对应不同的样本空间大小（$16$ 与 ${\mathrm{C}}_4^2=6$），务必先分清。

方法推广：计数时按 $m$ 的取值分类，每类数满足条件的 $n$ 个数再相加，比枚举全部有序对更清晰。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-18 解-熊猫卡古典概型
• 2011-山东卷文-18 解-古典概型
• 2012-山东卷文-18 解-古典概型分类计数
• 2011-山东卷文-18 解-古典概型