2009-四川卷文-18 解-熊猫卡古典概型

本题导读

考查古典概型应用。（1）$\frac{{\mathrm{C}}_6^1{\mathrm{C}}_{30}^1}{{\mathrm{C}}_{36}^2}=\frac{2}{7}$；（2）$\frac{{\mathrm{C}}_{21}^2+{\mathrm{C}}_9^1{\mathrm{C}}_6^1}{{\mathrm{C}}_{36}^2}=\frac{264}{630}=\frac{44}{105}$。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）.某旅游公司组织了一个有 $36$ 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 $\frac{3}{4}$ 是省外游客，其余是省内游客.在省外游客中有 $\frac{1}{3}$ 持金卡，在省内游客中有 $\frac{2}{3}$ 持银卡.

(1)在该团中随机采访 $2$ 名游客，求恰有 $1$ 人持银卡的概率；

(2)在该团中随机采访 $2$ 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.

🔍【思路分析】

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1. 省外 $36\times \frac{3}{4}=27$ 人，其中金卡 $27\times \frac{1}{3}=9$ 人；省内 $9$ 人，其中银卡 $9\times \frac{2}{3}=6$ 人。 2.（1）恰 $1$ 人持银卡：$\frac{{\mathrm{C}}_6^1{\mathrm{C}}_{30}^1}{{\mathrm{C}}_{36}^2}=\frac{180}{630}=\frac{2}{7}$。 3.（2）相等分两类：$0$ 金 $0$ 银（${\mathrm{C}}_{21}^2=210$ 种）与 $1$ 金 $1$ 银（$9\times 6=54$ 种）。
2. 概率 $\frac{210+54}{630}=\frac{264}{630}=\frac{44}{105}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{2}{7}$；(2)$\frac{44}{105}$

✍【详细解析】

Abstract

由题意，省外游客有 $36\times \frac{3}{4}=27$ 人，其中持金卡 $27\times \frac{1}{3}=9$ 人； 省内游客 $9$ 人，其中持银卡 $9\times \frac{2}{3}=6$ 人；不持卡游客 $36-9-6=21$ 人。 （1）设事件 $A$ 为”采访该团 $2$ 人，恰有 $1$ 人持银卡”，则 $P(A)=\frac{{\mathrm{C}}_6^1{\mathrm{C}}_{30}^1}{{\mathrm{C}}_{36}^2}=\frac{6\times 30}{630}=\frac{2}{7}.$ （2）设事件 $B$ 为”采访该团 $2$ 人中，持金卡人数与持银卡人数相等”。 分为两类：$0$ 人持金卡且 $0$ 人持银卡，有 ${\mathrm{C}}_{21}^2=210$ 种； $1$ 人持金卡且 $1$ 人持银卡，有 $9\times 6=54$ 种。两类互斥，故 $P(B)=\frac{210+54}{630}=\frac{264}{630}=\frac{44}{105}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层计数与古典概型

核心方法：先算各层人数：金卡 $9$、银卡 $6$、无卡 $21$

避坑指南：（2）“人数相等”含 $0$ 对 $0$ 与 $1$ 对 $1$ 两类，$0$ 金 $0$ 银这一类最易漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分层：$36\times \frac{3}{4}=27$，$27\times \frac{1}{3}=9$；$9\times \frac{2}{3}=6$。

结论推广：恰一人持银卡：另一人从其余 $30$ 人中任选（含金卡与无卡）。

方法推广：${\mathrm{C}}_{36}^2=630$ 作分母，结果约分：$\frac{180}{630}=\frac{2}{7}$，$\frac{264}{630}=\frac{44}{105}$。

🔗【关联脉络】

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