2010-山东卷理-04 单-函数

本题导读

本题考查奇函数的定义及其在原点有定义时 $f(0)=0$ 的应用，进而求出自变量负值处的函数值。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 设 $f(x)$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=2^x+2x+b$（$b$ 为常数），则 $f(-1)=$()

A. $3$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $-3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $f(x)$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，利用 $f(0)=0$ 求出常数 $b$。
2. 计算 $f(1)$ 的值。
3. 利用奇函数性质 $f(-1)=-f(1)$ 得出答案。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，所以： $f(0)=0$

当 $x=0$ 时，代入 $f(x)$ 解析式： $f(0)=2^0+2\times 0+b=1+b=0⟹b=-1$

所以当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=2^x+2x-1$。

计算 $f(1)$： $f(1)=2^1+2(1)-1=2+2-1=3$

由奇函数性质 $f(-1)=-f(1)$，可得： $f(-1)=-3$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数定义与性质 $f(0)=0$（当 $0$ 在定义域内时）。
2. 核心方法：先求待定常数，再利用对称性求值。
3. 避坑指南：勿忽略求常数 $b$ 的步骤，直接求 $f(-1)$ 会因未知 $b$ 而无法进行。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查函数奇偶性在求解解析式与求值中的经典应用。
2. 结论推广：定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数满足 $f(0)=0$；若已知 $x\ge 0$ 的解析式，可导出 $x<0$ 的解析式为 $f(x)=-f(-x)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性