2010-山东卷理-10 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划问题，通过绘制不等式组表示的平面区域，代入顶点求目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+2\ge 0\\ x-5y+10\le 0\\ x+y-8\le 0\end{array}$，则目标函数 $z=3x-4y$ 的最大值和最小值分别为()

A. $3,-11$　　　　B. $-3,-11$　　　　C. $11,-3$　　　　D. $11,3$

🔍【思路分析】

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1. 画出线性约束条件表示的可行域（三角形区域）。
2. 解三条边界直线的两两交点，求出可行域的三个顶点。
3. 将顶点坐标分别代入目标函数 $z=3x-4y$ 比大小，得出最大值与最小值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

联立边界直线方程求顶点：

1. 联立 $\{\begin{array}{l}x-y+2=0\\ x-5y+10=0\end{array}⟹A(0,2)$
2. 联立 $\{\begin{array}{l}x-y+2=0\\ x+y-8=0\end{array}⟹B(3,5)$
3. 联立 $\{\begin{array}{l}x-5y+10=0\\ x+y-8=0\end{array}⟹C(5,3)$

可行域为以 $A(0,2),B(3,5),C(5,3)$ 为顶点的封闭三角形区域。

将三个顶点代入目标函数 $z=3x-4y$ 计算：

• 在 $A(0,2)$ 处：$z_A=3(0)-4(2)=-8$（计算有误，重新核对）

重新核对交点与代入：

• $A(0,2)$: $z_A=3(0)-4(2)=-8$
• $B(3,5)$: $z_B=3(3)-4(5)=9-20=-11$
• $C(5,3)$: $z_C=3(5)-4(3)=15-12=3$

计算比对： 最大值为 $z_{\max }=3$（在点 $C(5,3)$ 处取到）； 最小值为 $z_{\min }=-11$（在点 $B(3,5)$ 处取到）。

故最大值和最小值分别为 $3,-11$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域与目标函数最值。
2. 核心方法：顶点法（凸多边形区域的最值必在顶点处取得）。
3. 避坑指南：联立方程求交点时计算要准确；平移直线 $y=\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}$ 分析时注意截距与 $z$ 值的反向关系（$y$ 轴截距 $-\frac{z}{4}$ 越大，$z$ 越小）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：线性规划标准模型题。
2. 结论推广：若可行域为有界凸多边形，线性目标函数 $z=ax+by$ 的极值必在多边形顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域